СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ

случайное блуждание, траектории которого посещают каждую точку решетки $\mathbb{Z}$ не более одного раза. С. б. без самопересечений длины $n$ называется последовательность $X_{n}=\{x(0), x(1), \ldots, x(n)\}$ точек целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{d}$, $d>1$, такая, что $x(0)=0,|x(i)-x(i+1)|=1, x(i) \neq x(j)$ при $i \neq j$. Пусть $c(n)-$ число различных таких С. б. длины $n$. На множестве всех С. б. без самопересечений определена вероятностная мера, если положить, что вероятности всех последовательностей $X_{n}$ равны $\frac{1}{c(n)}$. Пусть $\langle\cdot\rangle_{n}-$ усреднение по этой мере и \[ d(n)=\left\langle x^{2}(n)\right\rangle_{n} \] a \[ Y_{n}\left(t, X_{n}\right)=d_{n}^{-1 / 2} x([n, t]), t \in(0,1) . \] Основные задачи теории С. б. без самопересечений - исследование асимптотик функций $c(n), d(n)$ при $n \rightarrow \infty$ и изучение предельного распределения для случайного процесса $Y_{n}\left(t, X_{n}\right), n \rightarrow \infty$. Проблемы, связанные с такими С. б., активно обсуждаются в физич. литературе в связи с задачами физики полимеров. При этом общепринята следующая картина. Считается, что \[ \begin{gathered} c(n) \sim \text { const } \beta(d)^{n} n^{\gamma(d)-1}, \\ d(n) \sim \text { const } n^{\tau(n)} . \end{gathered} \] При $d>4$ критич. индексы $\gamma(d)=\tau(d)=1$ и распределение $Y_{n}\left(t, X_{n}\right)$ слабо сходится к стандартной мере Винера в $\mathbb{R}^{d}$. При $d=4$ также имеется сходимость к мере Винера, однако в асимптотики для $c(n)$ и $d(n)$ входят логарифмич. поправки. При $d=2,3$ поведение С. б. негауссовское и сходимости к мере Винера нет. Вычисления дают значения $\tau(2)=1,5$, $\tau(3)=1,17$. Строгие математич. результаты о С. б. без самопересечений немногочисленны.

случайное блуждание, траектории которого посещают каждую точку решетки $\mathbb{Z}$ не более одного раза. С. б. без самопересечений длины $n$ называется последовательность $X_{n}=\{x(0), x(1), \ldots, x(n)\}$ точек целочисленной решетки $\mathbb{Z}^{d}$, $d>1$, такая, что $x(0)=0,|x(i)-x(i+1)|=1, x(i) \neq x(j)$ при $i \neq j$. Пусть $c(n)-$ число различных таких С. б. длины $n$. На множестве всех С. б. без самопересечений определена вероятностная мера, если положить, что вероятности всех последовательностей $X_{n}$ равны $\frac{1}{c(n)}$. Пусть $\langle\cdot\rangle_{n}-$ усреднение по этой мере и \[ d(n)=\left\langle x^{2}(n)\right\rangle_{n} \] a \[ Y_{n}\left(t, X_{n}\right)=d_{n}^{-1 / 2} x([n, t]), t \in(0,1) . \] Основные задачи теории С. б. без самопересечений - исследование асимптотик функций $c(n), d(n)$ при $n \rightarrow \infty$ и изучение предельного распределения для случайного процесса $Y_{n}\left(t, X_{n}\right), n \rightarrow \infty$. Проблемы, связанные с такими С. б., активно обсуждаются в физич. литературе в связи с задачами физики полимеров. При этом общепринята следующая картина. Считается, что \[ \begin{gathered} c(n) \sim \text { const } \beta(d)^{n} n^{\gamma(d)-1}, \\ d(n) \sim \text { const } n^{\tau(n)} . \end{gathered} \] При $d>4$ критич. индексы $\gamma(d)=\tau(d)=1$ и распределение $Y_{n}\left(t, X_{n}\right)$ слабо сходится к стандартной мере Винера в $\mathbb{R}^{d}$. При $d=4$ также имеется сходимость к мере Винера, однако в асимптотики для $c(n)$ и $d(n)$ входят логарифмич. поправки. При $d=2,3$ поведение С. б. негауссовское и сходимости к мере Винера нет. Вычисления дают значения $\tau(2)=1,5$, $\tau(3)=1,17$. Строгие математич. результаты о С. б. без самопересечений немногочисленны.