СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

случайное блуждание, в котором вероятности перехода (в случае блуждания с дискретным временем) или интенсивности перехода (для блужданий с непрерывным временем) являются реализациями некоторого случайного поля. С физич. точки зрения С. б. в случайной среде отвечает процессу диффузии в неоднородной среде. В простейшем случае блуждания по решетке $\mathbb{Z}^{d}, d \geqslant 1$, с возможными переходами в соседние точки решетки вероятности перехода определяются случайным полем $\left\{p_{ \pm \alpha}(x), x \in \mathbb{Z}^{d}, \alpha=1, \ldots, d\right\}$ по формуле \[ p\left(x, x \pm e_{\alpha}\right)=p_{ \pm \alpha}(x), \] где $e_{\alpha}$ - единичный вектор $\alpha$-го направления. Обычно предполагают, что случайные величины $p_{ \pm \alpha}(x)$ являются независимыми для разных $x$ или накладывают определенные условия убывания корреляций. В случае когда $p_{ \pm \alpha}(x)=$ $=\frac{1}{2 d}+\varepsilon q_{ \pm \alpha}(x)$ и $\varepsilon$ мало, говорят о малом случайном возмущении одного С. б. Обычно С. б. в случайной среде изучают или как общий случайный процесс, определенный на произведении вероятностных пространств, отвечающих среде и блужданию, или изучают условные распределения этого процесса при условии фиксированной реализации вероятностей перехода, то есть при фиксированной среде. Если при почти всех реализациях среды асимптотич. свойства С.б. не меняются, говорят, что С. б. в случайной среде обладает свойством самоусреднения. Для размерностей $d>1$ общие математически строгие результаты отсутствуют. В физич. литературе считается, что при $d \geqslant 2$ для достаточно малых случайных возмущений однородного С.б. запирающие области не приводят к существенному замедлению диффузии и случайный процесс \[ \frac{1}{\sqrt{n}} X_{n}([n t]), \quad t \in[0,1] \] слабо сходится к винеровскому процессу с неслучайной матрицей ковариаций. При $d=2$ возможны логарифмич. поправки в нормировке $\sqrt{n}$.

случайное блуждание, в котором вероятности перехода (в случае блуждания с дискретным временем) или интенсивности перехода (для блужданий с непрерывным временем) являются реализациями некоторого случайного поля. С физич. точки зрения С. б. в случайной среде отвечает процессу диффузии в неоднородной среде. В простейшем случае блуждания по решетке $\mathbb{Z}^{d}, d \geqslant 1$, с возможными переходами в соседние точки решетки вероятности перехода определяются случайным полем $\left\{p_{ \pm \alpha}(x), x \in \mathbb{Z}^{d}, \alpha=1, \ldots, d\right\}$ по формуле \[ p\left(x, x \pm e_{\alpha}\right)=p_{ \pm \alpha}(x), \] где $e_{\alpha}$ - единичный вектор $\alpha$-го направления. Обычно предполагают, что случайные величины $p_{ \pm \alpha}(x)$ являются независимыми для разных $x$ или накладывают определенные условия убывания корреляций. В случае когда $p_{ \pm \alpha}(x)=$ $=\frac{1}{2 d}+\varepsilon q_{ \pm \alpha}(x)$ и $\varepsilon$ мало, говорят о малом случайном возмущении одного С. б. Обычно С. б. в случайной среде изучают или как общий случайный процесс, определенный на произведении вероятностных пространств, отвечающих среде и блужданию, или изучают условные распределения этого процесса при условии фиксированной реализации вероятностей перехода, то есть при фиксированной среде. Если при почти всех реализациях среды асимптотич. свойства С.б. не меняются, говорят, что С. б. в случайной среде обладает свойством самоусреднения. Для размерностей $d>1$ общие математически строгие результаты отсутствуют. В физич. литературе считается, что при $d \geqslant 2$ для достаточно малых случайных возмущений однородного С.б. запирающие области не приводят к существенному замедлению диффузии и случайный процесс \[ \frac{1}{\sqrt{n}} X_{n}([n t]), \quad t \in[0,1] \] слабо сходится к винеровскому процессу с неслучайной матрицей ковариаций. При $d=2$ возможны логарифмич. поправки в нормировке $\sqrt{n}$.