СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

математическое понятие, формализующее представление об эволюции какой-либо системы во времени, у которой случайным образом возникает неопределенность в ее поведении; иными словами: процесс изменения состояния системы зависит от случая и определена вероятность того или иного его течения. Синонимами термина «С. П.» являются стохастический процесс, вероятностный процесс, случайная функция времени. Физич. примерами процессов, к-рые должны описываться на основе математич. понятия С. п., являются: случайные колебания напряжения в электрич. цепи; случайные траектории броуновской частицы; случайное количество фотоотсчетов, зарегистрированных фотодетектором; случайное число распавшихся радиоактивных ядер на отрезке времени $[0, t]$; случайные расстройки радиосигналов, вызванные помехами, как по фазе, так и по частоте; случайное протекание цепной химич. реакции; случайная эволюция биологич. популяции и т. д. Общая схема теории вероятностей допускает математич. формализацию физич. представления о случайной функции в виде задания специального вероятностного пространства $\{\Omega, \mathfrak{B}, \mathrm{P}\}$, где множество $\Omega$ называется выборочным пространством, или пространством реализаций, элементами к-рого являются выборочные функции, или, другими словами, случайные реализации процесса, исчерпывающие все возможности, к-рые случайно могут реализоваться в опыте; элементов, принадлежащих $\Omega$, и вероятность к-рых имеет смысл; $\mathrm{P}(A)$ - $\sigma$-аддитивная функция на событиях $A$ из $\mathfrak{B}$. Функции, составляющие $\Omega$, могут быть совершенно различной природы и поэтому понятие случайной функции является формализацией общего представления о случайной функциональной зависимости произвольного вида. Термином «С. п.» $\{\xi(t)\}$ обозначают случайную функцию от действительного аргумента $t$, к-рый интерпретируется как время. Область значений $X$ случайных реализаций $\xi(t)$ называется фазовым пространством процесса. Природа пространства $X$ может быть различной, но обычно рассматриваются процессы с $X=\mathbb{R}^{m}$ (либо $\mathbb{C}^{m}$ ). В этом случае говорят о многомерном, или векторном, С. П. \[ \xi(t)=\left\{\xi_{1}(t), \xi_{2}(t), \ldots, \xi_{m}(t)\right\} . \] Изучение многомерных С. П. сводится к изучению совокупности скалярных С. П. $\left\{\xi_{k}(t)\right\}, k=1, \ldots, m$. Поэтому ниже мы будем говорить только об одномерном С. П. Заметим, что часто о случайной последовательности $\left\{\xi_{n}\right\}$ также говорят как о С. П., но с дискретным временем (см. Маркова цепь, Случайное блуждание). Простейшим примером С. П. может служить множество функций $\{\xi(t, \alpha)\}$, зависящих от случайного параметра $\alpha$, к-рый принимает значения в конечномерном пространстве. Вмешательство случайного механизма, влияющего на эволюцию системы, в этом случае может происходить только конечное число раз. При этом вероятностное пространство процесса определяется вероятностным пространством для параметра $\alpha$ и исследование свойств таких процессов поэтому укладывается в рамки классич. теории вероятностей. Задание распределения вероятностей в случае, когда нек-рый случайный механизм воздействует на систему неограниченное количество раз (в пределе это происходит в каждый момент времени) уже связано с описанием бесконечномерного вероятностного пространства, так как требует, для указания конкретной траектории процесса, значений бесконечного набора параметров. Исходя из представления о процессе как о наборе траекторий, к-рые реализуются в зависимости от случая, естественно считать, что события \[ A\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n}, \Delta_{n}\right)=\left\{\bigcap_{i=1}^{n}\left\{\xi\left(t_{i}\right) \in \Delta_{i}\right\}\right. \] при произвольных $n$, наборах $t_{i}$ и $\Delta_{i}$ - борелевских множествах из $\mathbb{R}, i=1, \ldots, n$, имеют определенную вероятность \[ Q_{n}\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n}, \Delta_{n}\right)=\mathrm{P}\left\{A\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n}, \Delta_{n}\right)\right\} . \] Эти события называются цилиндрическими множествами в выборочном пространстве $\Omega$, а случайные величины $\xi\left(t_{i}\right)$ - сечениями С. П. Распределения вероятностей $Q_{n}$ называются конечномерными распределениями (размерности $n$ ) С. П. При этом функции $Q_{n}$ обладают свойствами согласованности: 1) $Q_{n}\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n}, \Delta_{n}\right)=Q_{n}\left(t_{i_{1}}, \Delta_{i_{1}} ; \ldots ; t_{i_{n}}, \Delta_{i_{n}}\right)$, где $\left(i_{1}, \ldots, i_{n}\right)$ - любая перестановка чисел $(1, \ldots, n)$; 2) $Q_{n}\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n-1}, \Delta_{n-1} ; t_{n}, \mathbb{R}\right)=Q_{n-1}\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots\right.$; $\left.t_{n-1}, \Delta_{n-1}\right)$. В качестве $\mathfrak{B}$ и меры распределения вероятностей Р для С. П., достаточно взять минимальную $\sigma$-алгебру, порожденную цилиндрич. множествами в $\Omega$ либо, что то же самое, в бесконечномерном пространстве сечений С. П. Мера Р без указания выборочного пространства, вообще говоря, не характеризуется полностью С. П. Иными словами, различным С. п., в пространстве сечений, может соответствовать одна и та же мера. О С. П., к-рые отвечают одной мере, говорят как о стохастически эквивалентных процессах. Часто различие между стохастически эквивалентными процессами является несущественным при моделировании случайной эволюции системы. Стохастически эквивалентные процессы при этом объединяют в классы эквивалентности, к-рые вместе с распределением вероятностей на пространстве сечений называют С. П. в широком смысле. Тонкие свойства траекторий процесса при этом игнорируются. Таким образом, для явного определения меры какого-либо С. п. необходимо, вообще говоря, описать бесконечный набор согласованных распределений вероятностей $Q_{n}$ с помощью конечного набора математич. объектов. Этого можно достигнуть весьма разнообразными способами и в зависимости от метода такого конструктивного построения меры естественно возникает классификация С. П. Напр., a) для процессов $\{\xi(t)\}$ с независимыми приращениями достаточно указать распределение вероятностей для случайных приращений процесса, то есть функцию \[ P(s, t ; A)=\mathrm{P}\{\xi(t)-\xi(s) \in A\}, A \subset \mathbb{R}, s>t ; \] б) для марковских процессов достаточно указать стохастич. ядро процесса: \[ \mathrm{P}\{\xi(t) \in A \mid \xi(s)=x\}=P(s, x ; t, A) \] при $t>s$, на основе к-рого могут быть вычислены вероятности $Q_{n}$ в) для гауссовских процессов достаточно определить пару: функцию $\mathrm{E} \xi(t), t \in \mathbb{R}$, и положительно определенную, симметричную функцию $\mathrm{E}[\xi(t) \xi(s)],(s, t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$; г) в более общем случае возможно задание меры процесса через определение характеристического функционала: \[ \Phi\{u\}=E \exp \left\{i \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \xi(\tau) d \tau\right\} \] для достаточно гладких функций $u(\tau)$; д) распределение вероятностей для разрывных процессов с целочисленными значениями, связанных с потоками Пальма, в теории массового обслуживания полностью определяется функцией \[ \begin{gathered} p(A)=\mathrm{P}\{t-s \in A \mid \xi(s-0)=n-1, \xi(s+0)=\xi(t-0)=n, \\ \xi(t+0)=n+1\}, A \subset(0, \infty) ; \end{gathered} \] е) для гиббсовских процессов (одномерных систем статистич. механики) достаточно определить гамильтониан - функционал от реализаций $\xi(t)$, по к-рому на основе Гиббса распределения восстанавливаются распределения $Q_{n}$. Источником определения С. п. служат эволюционные уравнения математич. моделей естественных наук в случае, когда какие-либо элементы, определяющие эти уравнения, являются случайными (напр., коэффициенты уравнений в свою очередь являются С. П.). В этом случае распределение вероятностей на множестве реализаций - решений эволюционных уравнений с фиксированными начальными условиями, определяется распределением вероятностей для случайных параметров уравнений. Эволюция понятия С. П. привела к необходимости отказаться от представления о траекториях процесса, то есть представления о том, что случайные реализации являются функциями в обычном смысле. Это положение оказывается очень стеснительным в приложениях. В связи с этим возникло понятие об обобщенном С. П. $\{\xi(t)\}$, как об идеализированном математич. объекте, случайные реализации к-рого не являются, вообще говоря, функциями с какими-то определенными значениями в каждый момент времени. Существуют только случайные «сглаженные реализации» процесса $x(\xi ; u)$, к-рые являются линейными функционалами от $\xi(t)$ с достаточно гладкой весовой функцией $u(t)$ и к-рые описывают результаты «измерений» значений процесса $\{\xi(t)\}$. Обобщенные С. П. определяются мерой, являющейся пределом в смысле определенного типа слабой сходимости по системе мер, связанных со С. п., понимаемых в обычном «классическом» смысле. В связи с этим классич. С. П. $\{\xi(t)\}$ также можно рассматривать как обобщенные, для к-рых \[ x(\xi ; u)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \xi(\tau) d \tau . \] Важнейшим примером обобщенного С. п., к-рый уже не является классическим, служит процесс белого шума. Его можно рассматривать как обобщение понятия о последовательности независимых случайных величин на процессы с непрерывным временем. Белый шум $\{\varphi(t)\}$ с единичной интенсивностью определяется как обобщенный гауссовский процесс с $\mathrm{E} \varphi(t)=0$ и корреляционной функцией $\mathrm{E}[\varphi(t) \varphi(s)]=\delta(t-s)$ Лит.: [1] Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977; [2] Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [3] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1-3, М., 1971-75; [4] Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов, М., 1975.

математическое понятие, формализующее представление об эволюции какой-либо системы во времени, у которой случайным образом возникает неопределенность в ее поведении; иными словами: процесс изменения состояния системы зависит от случая и определена вероятность того или иного его течения. Синонимами термина «С. П.» являются стохастический процесс, вероятностный процесс, случайная функция времени. Физич. примерами процессов, к-рые должны описываться на основе математич. понятия С. п., являются: случайные колебания напряжения в электрич. цепи; случайные траектории броуновской частицы; случайное количество фотоотсчетов, зарегистрированных фотодетектором; случайное число распавшихся радиоактивных ядер на отрезке времени $[0, t]$; случайные расстройки радиосигналов, вызванные помехами, как по фазе, так и по частоте; случайное протекание цепной химич. реакции; случайная эволюция биологич. популяции и т. д. Общая схема теории вероятностей допускает математич. формализацию физич. представления о случайной функции в виде задания специального вероятностного пространства $\{\Omega, \mathfrak{B}, \mathrm{P}\}$, где множество $\Omega$ называется выборочным пространством, или пространством реализаций, элементами к-рого являются выборочные функции, или, другими словами, случайные реализации процесса, исчерпывающие все возможности, к-рые случайно могут реализоваться в опыте; элементов, принадлежащих $\Omega$, и вероятность к-рых имеет смысл; $\mathrm{P}(A)$ - $\sigma$-аддитивная функция на событиях $A$ из $\mathfrak{B}$. Функции, составляющие $\Omega$, могут быть совершенно различной природы и поэтому понятие случайной функции является формализацией общего представления о случайной функциональной зависимости произвольного вида. Термином «С. п.» $\{\xi(t)\}$ обозначают случайную функцию от действительного аргумента $t$, к-рый интерпретируется как время. Область значений $X$ случайных реализаций $\xi(t)$ называется фазовым пространством процесса. Природа пространства $X$ может быть различной, но обычно рассматриваются процессы с $X=\mathbb{R}^{m}$ (либо $\mathbb{C}^{m}$ ). В этом случае говорят о многомерном, или векторном, С. П. \[ \xi(t)=\left\{\xi_{1}(t), \xi_{2}(t), \ldots, \xi_{m}(t)\right\} . \] Изучение многомерных С. П. сводится к изучению совокупности скалярных С. П. $\left\{\xi_{k}(t)\right\}, k=1, \ldots, m$. Поэтому ниже мы будем говорить только об одномерном С. П. Заметим, что часто о случайной последовательности $\left\{\xi_{n}\right\}$ также говорят как о С. П., но с дискретным временем (см. Маркова цепь, Случайное блуждание). Простейшим примером С. П. может служить множество функций $\{\xi(t, \alpha)\}$, зависящих от случайного параметра $\alpha$, к-рый принимает значения в конечномерном пространстве. Вмешательство случайного механизма, влияющего на эволюцию системы, в этом случае может происходить только конечное число раз. При этом вероятностное пространство процесса определяется вероятностным пространством для параметра $\alpha$ и исследование свойств таких процессов поэтому укладывается в рамки классич. теории вероятностей. Задание распределения вероятностей в случае, когда нек-рый случайный механизм воздействует на систему неограниченное количество раз (в пределе это происходит в каждый момент времени) уже связано с описанием бесконечномерного вероятностного пространства, так как требует, для указания конкретной траектории процесса, значений бесконечного набора параметров. Исходя из представления о процессе как о наборе траекторий, к-рые реализуются в зависимости от случая, естественно считать, что события \[ A\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n}, \Delta_{n}\right)=\left\{\bigcap_{i=1}^{n}\left\{\xi\left(t_{i}\right) \in \Delta_{i}\right\}\right. \] при произвольных $n$, наборах $t_{i}$ и $\Delta_{i}$ - борелевских множествах из $\mathbb{R}, i=1, \ldots, n$, имеют определенную вероятность \[ Q_{n}\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n}, \Delta_{n}\right)=\mathrm{P}\left\{A\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n}, \Delta_{n}\right)\right\} . \] Эти события называются цилиндрическими множествами в выборочном пространстве $\Omega$, а случайные величины $\xi\left(t_{i}\right)$ - сечениями С. П. Распределения вероятностей $Q_{n}$ называются конечномерными распределениями (размерности $n$ ) С. П. При этом функции $Q_{n}$ обладают свойствами согласованности: 1) $Q_{n}\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n}, \Delta_{n}\right)=Q_{n}\left(t_{i_{1}}, \Delta_{i_{1}} ; \ldots ; t_{i_{n}}, \Delta_{i_{n}}\right)$, где $\left(i_{1}, \ldots, i_{n}\right)$ - любая перестановка чисел $(1, \ldots, n)$; 2) $Q_{n}\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots ; t_{n-1}, \Delta_{n-1} ; t_{n}, \mathbb{R}\right)=Q_{n-1}\left(t_{1}, \Delta_{1} ; \ldots\right.$; $\left.t_{n-1}, \Delta_{n-1}\right)$. В качестве $\mathfrak{B}$ и меры распределения вероятностей Р для С. П., достаточно взять минимальную $\sigma$-алгебру, порожденную цилиндрич. множествами в $\Omega$ либо, что то же самое, в бесконечномерном пространстве сечений С. П. Мера Р без указания выборочного пространства, вообще говоря, не характеризуется полностью С. П. Иными словами, различным С. п., в пространстве сечений, может соответствовать одна и та же мера. О С. П., к-рые отвечают одной мере, говорят как о стохастически эквивалентных процессах. Часто различие между стохастически эквивалентными процессами является несущественным при моделировании случайной эволюции системы. Стохастически эквивалентные процессы при этом объединяют в классы эквивалентности, к-рые вместе с распределением вероятностей на пространстве сечений называют С. П. в широком смысле. Тонкие свойства траекторий процесса при этом игнорируются. Таким образом, для явного определения меры какого-либо С. п. необходимо, вообще говоря, описать бесконечный набор согласованных распределений вероятностей $Q_{n}$ с помощью конечного набора математич. объектов. Этого можно достигнуть весьма разнообразными способами и в зависимости от метода такого конструктивного построения меры естественно возникает классификация С. П. Напр., a) для процессов $\{\xi(t)\}$ с независимыми приращениями достаточно указать распределение вероятностей для случайных приращений процесса, то есть функцию \[ P(s, t ; A)=\mathrm{P}\{\xi(t)-\xi(s) \in A\}, A \subset \mathbb{R}, s>t ; \] б) для марковских процессов достаточно указать стохастич. ядро процесса: \[ \mathrm{P}\{\xi(t) \in A \mid \xi(s)=x\}=P(s, x ; t, A) \] при $t>s$, на основе к-рого могут быть вычислены вероятности $Q_{n}$ в) для гауссовских процессов достаточно определить пару: функцию $\mathrm{E} \xi(t), t \in \mathbb{R}$, и положительно определенную, симметричную функцию $\mathrm{E}[\xi(t) \xi(s)],(s, t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$; г) в более общем случае возможно задание меры процесса через определение характеристического функционала: \[ \Phi\{u\}=E \exp \left\{i \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \xi(\tau) d \tau\right\} \] для достаточно гладких функций $u(\tau)$; д) распределение вероятностей для разрывных процессов с целочисленными значениями, связанных с потоками Пальма, в теории массового обслуживания полностью определяется функцией \[ \begin{gathered} p(A)=\mathrm{P}\{t-s \in A \mid \xi(s-0)=n-1, \xi(s+0)=\xi(t-0)=n, \\ \xi(t+0)=n+1\}, A \subset(0, \infty) ; \end{gathered} \] е) для гиббсовских процессов (одномерных систем статистич. механики) достаточно определить гамильтониан - функционал от реализаций $\xi(t)$, по к-рому на основе Гиббса распределения восстанавливаются распределения $Q_{n}$. Источником определения С. п. служат эволюционные уравнения математич. моделей естественных наук в случае, когда какие-либо элементы, определяющие эти уравнения, являются случайными (напр., коэффициенты уравнений в свою очередь являются С. П.). В этом случае распределение вероятностей на множестве реализаций - решений эволюционных уравнений с фиксированными начальными условиями, определяется распределением вероятностей для случайных параметров уравнений. Эволюция понятия С. П. привела к необходимости отказаться от представления о траекториях процесса, то есть представления о том, что случайные реализации являются функциями в обычном смысле. Это положение оказывается очень стеснительным в приложениях. В связи с этим возникло понятие об обобщенном С. П. $\{\xi(t)\}$, как об идеализированном математич. объекте, случайные реализации к-рого не являются, вообще говоря, функциями с какими-то определенными значениями в каждый момент времени. Существуют только случайные «сглаженные реализации» процесса $x(\xi ; u)$, к-рые являются линейными функционалами от $\xi(t)$ с достаточно гладкой весовой функцией $u(t)$ и к-рые описывают результаты «измерений» значений процесса $\{\xi(t)\}$. Обобщенные С. П. определяются мерой, являющейся пределом в смысле определенного типа слабой сходимости по системе мер, связанных со С. п., понимаемых в обычном «классическом» смысле. В связи с этим классич. С. П. $\{\xi(t)\}$ также можно рассматривать как обобщенные, для к-рых \[ x(\xi ; u)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \xi(\tau) d \tau . \] Важнейшим примером обобщенного С. п., к-рый уже не является классическим, служит процесс белого шума. Его можно рассматривать как обобщение понятия о последовательности независимых случайных величин на процессы с непрерывным временем. Белый шум $\{\varphi(t)\}$ с единичной интенсивностью определяется как обобщенный гауссовский процесс с $\mathrm{E} \varphi(t)=0$ и корреляционной функцией $\mathrm{E}[\varphi(t) \varphi(s)]=\delta(t-s)$ Лит.: [1] Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977; [2] Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [3] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1-3, М., 1971-75; [4] Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов, М., 1975.