СОВМЕСТИМЫЕ НАБЛЮДАЕМЫЕ

наблюдаемые, допускающие совместное измерение. В квантовой механике С. н. являются наблюдаемые $X_{1}, \ldots, X_{n}$, к-рые представимы как функции $X_{j}=\varphi_{j}(X), j=1, \ldots, n$, нек-рой наблюдаемой $X$. Необходимым и достаточным условием совместимости является перестановочность спектральных мер операторов $X_{1}, \ldots, X_{n}$ \[ \begin{gathered} E_{j}(B) E_{k}(C)=E_{k}(C) E_{j}(B), \\ B, C \in \mathscr{B}(\mathbb{R}), j, k=1, \ldots, n, \end{gathered} \] где $E_{j}(\cdot)$ - спектральная мера оператора $X_{j}$, определенная на $\sigma$-алгебре $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ борелевских подмножеств вещественной прямой $\mathbb{R}$. Если $X_{1}, \ldots, X_{n}$ ограничены, то это эквивалентно перестановочности самих $X_{j}$: \[ X_{j} X_{k}=X_{k} X_{j}, j, k=1, \ldots, n . \] С. н. имеют совместную спектральную меру $E(B), B \in \mathscr{B}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, такую, что \[ X_{j}=\int \ldots \int x_{j} E\left(d x_{1} \ldots d x_{j} \ldots d x_{n}\right), \quad j=1, \ldots, n . \] Распределение вероятностей точного совместного измерения наблюдаемых $X_{1}, \ldots, X_{n}$ в состоянии, описываемом оператором плотности $\rho$, задается формулой \[ \mu_{\rho}(B)=\operatorname{Tr} \rho E(B) ; B \in \mathscr{B}\left(\mathbb{R}^{n}\right) . \] Для любой борелевской функции $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ на $\mathbb{R}^{n}$ определена наблюдаемая \[ \varphi\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\int \ldots \int \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) E\left(d x_{1} \ldots d x_{n}\right) . \] При этом среднее значение \[ \left\langle\varphi\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\right\rangle_{\rho}=\int \ldots \int \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mu_{\rho}\left(d x_{1} \ldots d x_{n}\right) . \] Соответствие $\varphi \rightarrow \varphi\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ сохраняет алгебраич. операции. Наблюдаемая $\varphi\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ совместима с наблюдаемыми $X_{1}, \ldots, X_{n}$. Если всякая наблюдаемая, совместимая с $X_{1}, \ldots$, $X_{n}$ является функцией от $X_{1}, \ldots, X_{n}$ (или, эквивалентно, абелева алгебра Неймана, порожденная операторами $X_{1}, \ldots$, $X_{n}$, максимальна), то $X_{1}, \ldots, X_{n}$ образуют полный набор. С каждым полным набором связано конкретное представление гильбертова пространства в виде пространства функций $\psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, в к-ром $X_{j}$ задается оператором умножения на $x_{j}$. Несовместимые наблюдаемые рассматриваются в квантовой механике как дополнительные, то есть принципиально не допускающие точного совместного измерения (см. Неопределенностей соотношение).

наблюдаемые, допускающие совместное измерение. В квантовой механике С. н. являются наблюдаемые $X_{1}, \ldots, X_{n}$, к-рые представимы как функции $X_{j}=\varphi_{j}(X), j=1, \ldots, n$, нек-рой наблюдаемой $X$. Необходимым и достаточным условием совместимости является перестановочность спектральных мер операторов $X_{1}, \ldots, X_{n}$ \[ \begin{gathered} E_{j}(B) E_{k}(C)=E_{k}(C) E_{j}(B), \\ B, C \in \mathscr{B}(\mathbb{R}), j, k=1, \ldots, n, \end{gathered} \] где $E_{j}(\cdot)$ - спектральная мера оператора $X_{j}$, определенная на $\sigma$-алгебре $\mathscr{B}(\mathbb{R})$ борелевских подмножеств вещественной прямой $\mathbb{R}$. Если $X_{1}, \ldots, X_{n}$ ограничены, то это эквивалентно перестановочности самих $X_{j}$: \[ X_{j} X_{k}=X_{k} X_{j}, j, k=1, \ldots, n . \] С. н. имеют совместную спектральную меру $E(B), B \in \mathscr{B}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, такую, что \[ X_{j}=\int \ldots \int x_{j} E\left(d x_{1} \ldots d x_{j} \ldots d x_{n}\right), \quad j=1, \ldots, n . \] Распределение вероятностей точного совместного измерения наблюдаемых $X_{1}, \ldots, X_{n}$ в состоянии, описываемом оператором плотности $\rho$, задается формулой \[ \mu_{\rho}(B)=\operatorname{Tr} \rho E(B) ; B \in \mathscr{B}\left(\mathbb{R}^{n}\right) . \] Для любой борелевской функции $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ на $\mathbb{R}^{n}$ определена наблюдаемая \[ \varphi\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)=\int \ldots \int \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) E\left(d x_{1} \ldots d x_{n}\right) . \] При этом среднее значение \[ \left\langle\varphi\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\right\rangle_{\rho}=\int \ldots \int \varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mu_{\rho}\left(d x_{1} \ldots d x_{n}\right) . \] Соответствие $\varphi \rightarrow \varphi\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ сохраняет алгебраич. операции. Наблюдаемая $\varphi\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ совместима с наблюдаемыми $X_{1}, \ldots, X_{n}$. Если всякая наблюдаемая, совместимая с $X_{1}, \ldots$, $X_{n}$ является функцией от $X_{1}, \ldots, X_{n}$ (или, эквивалентно, абелева алгебра Неймана, порожденная операторами $X_{1}, \ldots$, $X_{n}$, максимальна), то $X_{1}, \ldots, X_{n}$ образуют полный набор. С каждым полным набором связано конкретное представление гильбертова пространства в виде пространства функций $\psi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, в к-ром $X_{j}$ задается оператором умножения на $x_{j}$. Несовместимые наблюдаемые рассматриваются в квантовой механике как дополнительные, то есть принципиально не допускающие точного совместного измерения (см. Неопределенностей соотношение).