СОСТОЯНИЕ

положительный линейный функционал $\varphi$ на алгебре $\mathscr{U}$ наблюдаемых физической системы. Всякой физич. системе ставится в соответствие тройка ($\mathscr{U}$, $E,\langle;\rangle)$, образованная множеством $\mathscr{U}$ всех ее наблюдаемых, множеством $E$ всех ее состояний и отображением $\langle;\rangle:(\mathscr{U}, E) \rightarrow \mathbb{R}$, к-рое каждой паре $(A, \varphi)$ из $(\mathscr{U}, E)$ ставит в соответствие действительное число $\langle\varphi ; A\rangle$, называемое средним значением наблюдаемой $A$ в состоянии $\varphi$. Обычно $\mathscr{U}$ есть $B^{*}$-алгебра с единицей, $E$ - выпуклое подмножество единичного шара в сопряженном пространстве ' $\ell^{\prime}$. Понятие С. широко используется в квантовой теории и статистич. механике. С. в равновесной статистич. механике задается системой плотностей распределения для классич. ансамбля Гиббса и системой матриц плотности для квантового ансамбля Гиббса. С. в квантовой теории задается матрицей плотности, действующей в пространстве Фока. Такова, напр., квантовая статистич. система. Среднее по ансамблю такой системы, заключенной в ограниченной области $\Lambda \subset \mathbb{R}^{v}\left(\mathbb{Z}^{v}\right)$, определяется матрицей плотности $\rho_{\Lambda}$ соответствующего ансамбля Гиббса, действующей в пространстве Фока $\mathscr{F}(\Lambda)$ : \[ \langle A\rangle_{\Lambda}=\left\langle\rho_{\Lambda}, A\right\rangle=\operatorname{Tr} \rho_{\Lambda} A, \] где наблюдаемая $A \in \mathscr{\vartheta}$. Обычно рассматриваются предельные (равновесные) средние $\langle\cdot\rangle$ и соответствующие предельные С. $\rho$ при $|\Lambda| \rightarrow \infty$. Если на алгебре $\mathscr{\ell}$ действует нек-рая группа $G$ как группа автоморфизмов $\mathscr{U}$ (напр., группа всех движений $\mathbb{R}^{v}$), то естественно рассматривать инвариантные равновесные С., то есть равновесные С., не изменяющиеся под действием этой группы: $\left\langle\tau_{g} \cdot\right\rangle=\langle\cdot\rangle, \quad$ где $g \in G$, $\tau: G \rightarrow$ aut $\mathscr{U}-$ групповой гомоморфизм, а $\tau_{g}$ - автоморфизм $\mathscr{U}$, соответствующий элементу $g$ группы $G$ (при гомоморфизме $\tau$). См. также Равновесные состояния статистических систем, Корреляционная функция, Плотности матрица, Статистической механики математические задачи, Статистический ансамбль.

положительный линейный функционал $\varphi$ на алгебре $\mathscr{U}$ наблюдаемых физической системы. Всякой физич. системе ставится в соответствие тройка ($\mathscr{U}$, $E,\langle;\rangle)$, образованная множеством $\mathscr{U}$ всех ее наблюдаемых, множеством $E$ всех ее состояний и отображением $\langle;\rangle:(\mathscr{U}, E) \rightarrow \mathbb{R}$, к-рое каждой паре $(A, \varphi)$ из $(\mathscr{U}, E)$ ставит в соответствие действительное число $\langle\varphi ; A\rangle$, называемое средним значением наблюдаемой $A$ в состоянии $\varphi$. Обычно $\mathscr{U}$ есть $B^{*}$-алгебра с единицей, $E$ - выпуклое подмножество единичного шара в сопряженном пространстве ' $\ell^{\prime}$. Понятие С. широко используется в квантовой теории и статистич. механике. С. в равновесной статистич. механике задается системой плотностей распределения для классич. ансамбля Гиббса и системой матриц плотности для квантового ансамбля Гиббса. С. в квантовой теории задается матрицей плотности, действующей в пространстве Фока. Такова, напр., квантовая статистич. система. Среднее по ансамблю такой системы, заключенной в ограниченной области $\Lambda \subset \mathbb{R}^{v}\left(\mathbb{Z}^{v}\right)$, определяется матрицей плотности $\rho_{\Lambda}$ соответствующего ансамбля Гиббса, действующей в пространстве Фока $\mathscr{F}(\Lambda)$ : \[ \langle A\rangle_{\Lambda}=\left\langle\rho_{\Lambda}, A\right\rangle=\operatorname{Tr} \rho_{\Lambda} A, \] где наблюдаемая $A \in \mathscr{\vartheta}$. Обычно рассматриваются предельные (равновесные) средние $\langle\cdot\rangle$ и соответствующие предельные С. $\rho$ при $|\Lambda| \rightarrow \infty$. Если на алгебре $\mathscr{\ell}$ действует нек-рая группа $G$ как группа автоморфизмов $\mathscr{U}$ (напр., группа всех движений $\mathbb{R}^{v}$), то естественно рассматривать инвариантные равновесные С., то есть равновесные С., не изменяющиеся под действием этой группы: $\left\langle\tau_{g} \cdot\right\rangle=\langle\cdot\rangle, \quad$ где $g \in G$, $\tau: G \rightarrow$ aut $\mathscr{U}-$ групповой гомоморфизм, а $\tau_{g}$ - автоморфизм $\mathscr{U}$, соответствующий элементу $g$ группы $G$ (при гомоморфизме $\tau$). См. также Равновесные состояния статистических систем, Корреляционная функция, Плотности матрица, Статистической механики математические задачи, Статистический ансамбль.