СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СТАЦИОНАРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$

дисперсия случайной амплитуды той или иной гармоники, входящей в спектральное (гармоническое) разложение $\xi_{t}$. Для более точного определения С. п. рассмотрим случаи, когда случайная функция представляет собой: а) стационарную случайную последовательность (T - множество целых чисел), б) стационарный случайный процесс $\left(T=\mathbb{R}^{1}\right)$, в) стационарное случайное поле $\left(T=\mathbb{R}^{v}, v>1\right)$. Во всех случаях функция $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$ при довольно общих условиях допускает следующее разложение на гармоники (спектральное представление): \[ \xi_{t}=\int_{\Lambda} \exp \{i(t, \lambda)\} Z(d \lambda) \text {, } \] где $\Lambda=(-\pi, \pi) \subset \mathbb{R}^{1}-$ для случайной последовательности, $\Lambda=\mathbb{R}^{1}$ - для случайного процесса и $\Lambda=\mathbb{R}^{v}$ - для случайного поля; $Z(d \lambda)$ - случайная мера (вообще говоря, комплекснозначная), определенная на подмножествах из $\Lambda$, и ее значения на непересекающихся множествах не коррелированы: $\langle Z(A) \bar{Z}(B)\rangle=0, A, B \subseteq \Lambda ; A \cap B=0$ в формуле (1) $\quad(t, \lambda)=t \lambda$ для случаев а) и б) и \[ (t, \lambda)=\sum_{i=2}^{v} t^{(i)} \lambda^{(i)} \] для случая в). Из представления (1) и соотношения (2) вытекает, что корреляция $D\left(t_{1}, t_{2}\right)$ значений $\xi_{t}$ в двух точках $t_{1}, t_{2} \in T$ равна: \[ \begin{gathered} D\left(t_{1}, t_{2}\right) \equiv\left\langle\left(\xi_{t_{1}}-\left\langle\xi_{t_{1}}\right\rangle\right)\left(\xi_{t_{2}}-\left\langle\xi_{t_{2}}\right\rangle\right)\right\rangle= \\ =\int_{\Lambda} \exp \left\{i\left[\lambda,\left(t_{1}-t_{2}\right)\right]\right\} p(\lambda) d \lambda, \end{gathered} \] где функция $p(\lambda) \geqslant 0$, определяемая соотношением \[ \left\langle|Z(d \lambda)-\langle Z(d \lambda)\rangle|^{2}\right\rangle=p(\lambda) d \lambda+O(d \lambda), \] называется спектральной плотностью случайной функции $\xi_{t}$. Из формулы (3) следует, что \[ p(\lambda)=\frac{1}{(2 \pi)^{v}} \int_{\mathbb{R}^{v}} \exp \{-i(t, \lambda)\} D(t, 0) d t \] для случайного процесса $(v=1)$ или случайного поля $(v>1)$ и \[ p(\lambda)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{t=-\infty}^{\infty} \exp \{-i t \lambda\} D(t, 0) \] для случайной последовательности. Заметим, что формулы (4) и (5) дают способ непосредственного нахождения С. п. $p(\lambda)$, не использующего разложение (1).

дисперсия случайной амплитуды той или иной гармоники, входящей в спектральное (гармоническое) разложение $\xi_{t}$. Для более точного определения С. п. рассмотрим случаи, когда случайная функция представляет собой: а) стационарную случайную последовательность (T - множество целых чисел), б) стационарный случайный процесс $\left(T=\mathbb{R}^{1}\right)$, в) стационарное случайное поле $\left(T=\mathbb{R}^{v}, v>1\right)$. Во всех случаях функция $\left\{\xi_{t}, t \in T\right\}$ при довольно общих условиях допускает следующее разложение на гармоники (спектральное представление): \[ \xi_{t}=\int_{\Lambda} \exp \{i(t, \lambda)\} Z(d \lambda) \text {, } \] где $\Lambda=(-\pi, \pi) \subset \mathbb{R}^{1}-$ для случайной последовательности, $\Lambda=\mathbb{R}^{1}$ - для случайного процесса и $\Lambda=\mathbb{R}^{v}$ - для случайного поля; $Z(d \lambda)$ - случайная мера (вообще говоря, комплекснозначная), определенная на подмножествах из $\Lambda$, и ее значения на непересекающихся множествах не коррелированы: $\langle Z(A) \bar{Z}(B)\rangle=0, A, B \subseteq \Lambda ; A \cap B=0$ в формуле (1) $\quad(t, \lambda)=t \lambda$ для случаев а) и б) и \[ (t, \lambda)=\sum_{i=2}^{v} t^{(i)} \lambda^{(i)} \] для случая в). Из представления (1) и соотношения (2) вытекает, что корреляция $D\left(t_{1}, t_{2}\right)$ значений $\xi_{t}$ в двух точках $t_{1}, t_{2} \in T$ равна: \[ \begin{gathered} D\left(t_{1}, t_{2}\right) \equiv\left\langle\left(\xi_{t_{1}}-\left\langle\xi_{t_{1}}\right\rangle\right)\left(\xi_{t_{2}}-\left\langle\xi_{t_{2}}\right\rangle\right)\right\rangle= \\ =\int_{\Lambda} \exp \left\{i\left[\lambda,\left(t_{1}-t_{2}\right)\right]\right\} p(\lambda) d \lambda, \end{gathered} \] где функция $p(\lambda) \geqslant 0$, определяемая соотношением \[ \left\langle|Z(d \lambda)-\langle Z(d \lambda)\rangle|^{2}\right\rangle=p(\lambda) d \lambda+O(d \lambda), \] называется спектральной плотностью случайной функции $\xi_{t}$. Из формулы (3) следует, что \[ p(\lambda)=\frac{1}{(2 \pi)^{v}} \int_{\mathbb{R}^{v}} \exp \{-i(t, \lambda)\} D(t, 0) d t \] для случайного процесса $(v=1)$ или случайного поля $(v>1)$ и \[ p(\lambda)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{t=-\infty}^{\infty} \exp \{-i t \lambda\} D(t, 0) \] для случайной последовательности. Заметим, что формулы (4) и (5) дают способ непосредственного нахождения С. п. $p(\lambda)$, не использующего разложение (1).