СПИНОР

элемент пространства спинорного представления группы вращений. Вращений группа $S O(n)$ при $n \geqslant 3$ двусвязна. Ее односвязная накрывающая называется спинорной группой $\operatorname{Spin}(n)$. Каждое линейное представление $S O(n)$ порождает представление $\operatorname{Spin}(n)$; однако часть линейных представлений $\operatorname{Spin}(n)$ порождается двузначными (проективными с мультипликатором \pm 1 ) представлениями $S O(n)$ - ее спинорными представлениями. Простейшее спинорное представление имеет размерность $2^{[n / 2]}$ (где [...] - символ целой части числа) и реализуется в Клиффорда алгебре $K_{n}$ степени $2^{[n / 2]}$. Оно неприводимо для нечетных $n$ и разлагается в сумму двух неэквивалентных представлений одинаковой размерности для четных $n$. Существуют два типа спиноров: С., связанные с группой $S O(n)$ - группой вращений $n$-мерного евклидова пространства, и С., связанные с группой $S O(p, q)(p+q=n)-$ группой «вращений» псевдоевклидова пространства $M_{p, q}^{n}$, сохраняющих квадратичную форму: \[ x_{1}^{2}+\ldots+x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\ldots-x_{n}^{2} . \] В физике наиболее употребительны С. в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ [C. группы $S O(3)$ ] (нерелятивистская квантовая механика) и в пространстве Минковского $M_{1,3}^{4}$ (С. собственной Лоренца группы в релятивистской теории). Спинор в $\mathbb{R}^{\mathbf{3}}$. Простейшее спинорное представление (спинорное представление ранга 1) двумерно [так как $\operatorname{Spin}(1) \sim S U(2)]$. С. ранга 1 характеризуется парой (комплексных) чисел $\xi^{1}, \xi^{2}$. При повороте на угол $\varphi$ вокруг оси с направляющим единичным вектором $n=\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\right)$ С. ранга 1 преобразуется по формуле \[ \xi=\left\|\begin{array}{l} \xi^{1} \\ \xi^{2} \end{array}\right\| \rightarrow \xi^{\prime}=g(n, \varphi) \xi \in S U(2) \] с помощью матрицы \[ g(n, \varphi)=\cos (\varphi / 2)+i n \sigma \sin (\varphi / 2), \] где $\sigma=\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}\right), \sigma_{j}, j=1,2,3$, - Паули матрицы. При повороте на угол $2 \pi \mathrm{C}$. $\xi$ переходит в $-\xi$, что свидетельствует о неопределенности знака С., то есть о двузначности представления. Выражение (2) задает представление $S O(3)$, как следует из коммутационных соотношений для матриц Паули. В этом представлении матрица $(i / 2) \sigma_{j}$ является генератором поворота вокруг оси $j$. Преобразование (1) сохраняет билинейную форму $(\xi, \eta)=$ $=\xi^{1} \eta^{2}-\xi^{2} \eta^{1}$, определенную на двумерных векторах (контравариантных) $\xi$ и $\eta$. Это позволяет ввести в векторном пространстве таких векторов кососимметрич. «метрику» \[ \varepsilon_{\alpha \beta}=\left\|\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right\|, \quad \alpha, \beta=0,1, \] и ковариантные С. $\xi_{\alpha}=\varepsilon_{\alpha \beta} \xi^{\beta}$, преобразующиеся с помощью эрмитово сопряженной матрицы $g^{+}(n, \varphi)$. Тогда билинейная форма естественно интерпретируется как скалярное произведение: \[ (\xi, \eta)=\xi^{\alpha} \varepsilon_{\alpha \beta} \eta^{\beta}=\xi^{1} \eta_{1}+\xi^{2} \eta_{2} \] (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). В качестве базиса в пространстве С. ранга 1 можно выбрать собственные векторы \[ \xi^{+}=\left\|\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right\| \text { и } \xi^{-}=\left\|\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right\| \] матриц $(1 / 4) \sigma^{2}$ и $(1 / 2) \sigma_{3}$, допускающих естественную интерпретацию квадрата вектора спина и его $z$-проекции; собственными значениями будут $3 / 4=1 / 2(1+1 / 2)$ и $\pm 1 / 2$ соответственно. Поэтому С. ранга 1 описывают частицы со спином $1 / 2$. С. старших рангов строятся по аналогии с теорией тензоров. Контравариантным спинором ранга $r$ называется набор $2^{r}$ (комплексных) чисел $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}$, преобразующихся по закону: \[ \xi^{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}} \rightarrow \xi^{\prime \alpha_{1}}, \ldots, \alpha_{r}=g_{\beta_{1}}^{\alpha_{1}} \ldots g_{\beta_{r}}^{\alpha_{r}} \xi^{\beta_{1}}, \ldots, \beta_{r}, \] где $g_{\beta}^{\alpha}-$ элементы матрицы $g(n, \varphi)$. В алгебре С. можно ввести операции, аналогичные операциям в тензорной алгебре: поднятие и опускание индексов, свертка и т.д. С. $\xi^{\alpha_{1}}, \ldots, \alpha_{r}$ ранга $r$ называется симметрическим, если его компоненты не меняются при любой перестановке индексов. В пространстве симметрич. С. реализуются все неприводимые представления группы вращений веса $l$, $2 l=r$. Спинор в $M^{4}$. Два простейших неприводимых (полуспинорных) представления $S O(3,1)$ двумерны и обозначаются столбцами $\xi^{\alpha}$ и $\xi^{\dot{\alpha}}$ соответственно с непунктирными и с пунктирными индексами. При пространственных поворотах $\xi^{\alpha}$ преобразуются (как и С. в $\mathbb{R}^{3}$ ) с помощью матрицы (2), а при специальных Лоренца преобразованиях - гиперболич. поворотах на угол $\varphi$ в плоскости $\left(x_{0}, n\right)-$ с помощью матрицы $h$ : \[ h(\boldsymbol{n}, \varphi)=\operatorname{ch}(\varphi / 2)-\boldsymbol{n}(\sigma) \operatorname{sh}(\varphi / 2) . \] Пунктирные С., $\xi^{\dot{\alpha}}$, преобразуются с помощью комплексно сопряженных матриц $g^{*}$ и $h^{*}$ соответственно. Кососимметрич. матрица $\varepsilon_{\dot{\alpha} \dot{\beta}}$ позволяет определить компоненты пунктирных С. При пространственной инверсии \[ \left(x_{0}, \boldsymbol{x}\right) \rightarrow\left(x_{0},-\boldsymbol{x}\right) \] пунктирный и непунктирный С. переходят друг в друга: \[ \xi^{\alpha} \rightarrow i \xi_{\dot{\alpha}}, \quad \xi_{\dot{\alpha}} \rightarrow i \xi^{\alpha} . \] Включение инверсий означает переход от собственной группы Лоренца $S O(3,1)$ к группе Лоренца $O(3,1)$. Поэтому простейшее спинорное представление $O(3,1)$ четырехмерно и образовано биспинором $\xi_{\alpha} \otimes \xi_{\dot{\alpha}}(\otimes-$ знак тензорного произведения), обычно записываемым в виде столбца: \[ \psi=\left\|\begin{array}{c} \xi^{\alpha} \\ \xi_{\dot{\alpha}} \end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{l} \psi_{+} \\ \psi_{-} \end{array}\right\| \] Инвариантные и ковариантные билинейные формы в пространстве биспиноров строятся с помощью Дирака матриц $\gamma^{\mu}, \mu=0,1,2,3, \gamma^{5}=\gamma^{0} \gamma^{1} \gamma^{2} \gamma^{3}$ и определения дираковского сопряжения $\bar{\psi}_{Д}=\psi^{+} \gamma^{0}$ («+» означает эрмитово сопряжение). Так, формы $\bar{\psi} \psi, \bar{\psi} \gamma^{5} \psi, \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi-$ есть соответственно скаляр, псевдоскаляр и 4-вектор относительно преобразований из $O(3,1)$. Помимо дираковского вводят майорановское сопряжение \[ \bar{\psi}_{M}=\psi^{\top} C \] ( ${ }^{\top}$ - означает транспонирование), где $C$ - матрица зарядового сопряжения. Майорановским спинором называется С., для К-рого $\bar{\psi}_{\mathbf{M}}$ пропорционален $\Psi_{\text {д }}$ (множитель пропорциональности зависит от представления матриц Дирака); в частности, в майорановском представлении (где $\gamma^{\mu}$ и $\sigma^{\mu v}=\left[\gamma^{\mu}, \gamma^{v}\right]$ вещественны) компоненты майорановского С. вещественны. Вейлевским спинором называется С., удовлетворяющий соотношению или \[ \psi_{+}=(1 / 2)\left(I+\gamma^{5}\right) \psi_{+} \] \[ \psi_{-}=(1 / 2)\left(I-\gamma^{5}\right) \varphi_{-}, \] где $I-$ единичная матрица (соответственно правый и левый С.). Число его компонент также вдвое меньше обычного; он используется в теориях с киральной симметрией. В пространстве биспиноров можно задать линейное релятивистски инвариантное уравнение, описывающее частицы со спином 1/2 (спинорные частицы), с ненулевой массой Дирака уравнение, с нулевой массой - Вейля уравнение. С., связанные с многомерными пространствами, находят применение в теории тяготения, теории Калуцы - Клейна, теории суперструн и т. д. Многообещающие применения теории С. связаны с теорией твисторов. Спинорные многообразия. Глобально спинорное поле можно задать не на любом многомерном пространстве. Существование таких пространств (спинорных многообразий) определяется топологич. инвариантами. Первые упоминания двузначной природы группы вращений восходят к Л. Эйлеру (L. Euler) (параметризации группы вращений углами Эйлера). В работах О. Родригеса (O. Rodrigues), У. Гамильтона (W. Hamilton), А. Кэли (A. Cayley), У. Клиффорда (W. Clifford) и др. были получены важные результаты, нашедшие естественное продолжение в рамках теории С. Построение спинорных представлений в инфинитезимальной форме проведено Э. Картаном (E. Cartan, 1913). Дальнейшее развитие теории С. инициировалось открытием спина электрона (1925) и появлением уравнений П. Дирака (P. Dirac) и Г. Вейля (H. Weyl). Спинорное исчисление было построено в работах Б. Ван-дер-Вардена (В. van der Waerden) и др. Термин «С.» предложен П. Эренфестом (P. Ehrenfest, 1929).

элемент пространства спинорного представления группы вращений. Вращений группа $S O(n)$ при $n \geqslant 3$ двусвязна. Ее односвязная накрывающая называется спинорной группой $\operatorname{Spin}(n)$. Каждое линейное представление $S O(n)$ порождает представление $\operatorname{Spin}(n)$; однако часть линейных представлений $\operatorname{Spin}(n)$ порождается двузначными (проективными с мультипликатором \pm 1 ) представлениями $S O(n)$ - ее спинорными представлениями. Простейшее спинорное представление имеет размерность $2^{[n / 2]}$ (где [...] - символ целой части числа) и реализуется в Клиффорда алгебре $K_{n}$ степени $2^{[n / 2]}$. Оно неприводимо для нечетных $n$ и разлагается в сумму двух неэквивалентных представлений одинаковой размерности для четных $n$. Существуют два типа спиноров: С., связанные с группой $S O(n)$ - группой вращений $n$-мерного евклидова пространства, и С., связанные с группой $S O(p, q)(p+q=n)-$ группой «вращений» псевдоевклидова пространства $M_{p, q}^{n}$, сохраняющих квадратичную форму: \[ x_{1}^{2}+\ldots+x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\ldots-x_{n}^{2} . \] В физике наиболее употребительны С. в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ [C. группы $S O(3)$ ] (нерелятивистская квантовая механика) и в пространстве Минковского $M_{1,3}^{4}$ (С. собственной Лоренца группы в релятивистской теории). Спинор в $\mathbb{R}^{\mathbf{3}}$. Простейшее спинорное представление (спинорное представление ранга 1) двумерно [так как $\operatorname{Spin}(1) \sim S U(2)]$. С. ранга 1 характеризуется парой (комплексных) чисел $\xi^{1}, \xi^{2}$. При повороте на угол $\varphi$ вокруг оси с направляющим единичным вектором $n=\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\right)$ С. ранга 1 преобразуется по формуле \[ \xi=\left\|\begin{array}{l} \xi^{1} \\ \xi^{2} \end{array}\right\| \rightarrow \xi^{\prime}=g(n, \varphi) \xi \in S U(2) \] с помощью матрицы \[ g(n, \varphi)=\cos (\varphi / 2)+i n \sigma \sin (\varphi / 2), \] где $\sigma=\left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}\right), \sigma_{j}, j=1,2,3$, - Паули матрицы. При повороте на угол $2 \pi \mathrm{C}$. $\xi$ переходит в $-\xi$, что свидетельствует о неопределенности знака С., то есть о двузначности представления. Выражение (2) задает представление $S O(3)$, как следует из коммутационных соотношений для матриц Паули. В этом представлении матрица $(i / 2) \sigma_{j}$ является генератором поворота вокруг оси $j$. Преобразование (1) сохраняет билинейную форму $(\xi, \eta)=$ $=\xi^{1} \eta^{2}-\xi^{2} \eta^{1}$, определенную на двумерных векторах (контравариантных) $\xi$ и $\eta$. Это позволяет ввести в векторном пространстве таких векторов кососимметрич. «метрику» \[ \varepsilon_{\alpha \beta}=\left\|\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right\|, \quad \alpha, \beta=0,1, \] и ковариантные С. $\xi_{\alpha}=\varepsilon_{\alpha \beta} \xi^{\beta}$, преобразующиеся с помощью эрмитово сопряженной матрицы $g^{+}(n, \varphi)$. Тогда билинейная форма естественно интерпретируется как скалярное произведение: \[ (\xi, \eta)=\xi^{\alpha} \varepsilon_{\alpha \beta} \eta^{\beta}=\xi^{1} \eta_{1}+\xi^{2} \eta_{2} \] (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). В качестве базиса в пространстве С. ранга 1 можно выбрать собственные векторы \[ \xi^{+}=\left\|\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right\| \text { и } \xi^{-}=\left\|\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right\| \] матриц $(1 / 4) \sigma^{2}$ и $(1 / 2) \sigma_{3}$, допускающих естественную интерпретацию квадрата вектора спина и его $z$-проекции; собственными значениями будут $3 / 4=1 / 2(1+1 / 2)$ и $\pm 1 / 2$ соответственно. Поэтому С. ранга 1 описывают частицы со спином $1 / 2$. С. старших рангов строятся по аналогии с теорией тензоров. Контравариантным спинором ранга $r$ называется набор $2^{r}$ (комплексных) чисел $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}$, преобразующихся по закону: \[ \xi^{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}} \rightarrow \xi^{\prime \alpha_{1}}, \ldots, \alpha_{r}=g_{\beta_{1}}^{\alpha_{1}} \ldots g_{\beta_{r}}^{\alpha_{r}} \xi^{\beta_{1}}, \ldots, \beta_{r}, \] где $g_{\beta}^{\alpha}-$ элементы матрицы $g(n, \varphi)$. В алгебре С. можно ввести операции, аналогичные операциям в тензорной алгебре: поднятие и опускание индексов, свертка и т.д. С. $\xi^{\alpha_{1}}, \ldots, \alpha_{r}$ ранга $r$ называется симметрическим, если его компоненты не меняются при любой перестановке индексов. В пространстве симметрич. С. реализуются все неприводимые представления группы вращений веса $l$, $2 l=r$. Спинор в $M^{4}$. Два простейших неприводимых (полуспинорных) представления $S O(3,1)$ двумерны и обозначаются столбцами $\xi^{\alpha}$ и $\xi^{\dot{\alpha}}$ соответственно с непунктирными и с пунктирными индексами. При пространственных поворотах $\xi^{\alpha}$ преобразуются (как и С. в $\mathbb{R}^{3}$ ) с помощью матрицы (2), а при специальных Лоренца преобразованиях - гиперболич. поворотах на угол $\varphi$ в плоскости $\left(x_{0}, n\right)-$ с помощью матрицы $h$ : \[ h(\boldsymbol{n}, \varphi)=\operatorname{ch}(\varphi / 2)-\boldsymbol{n}(\sigma) \operatorname{sh}(\varphi / 2) . \] Пунктирные С., $\xi^{\dot{\alpha}}$, преобразуются с помощью комплексно сопряженных матриц $g^{*}$ и $h^{*}$ соответственно. Кососимметрич. матрица $\varepsilon_{\dot{\alpha} \dot{\beta}}$ позволяет определить компоненты пунктирных С. При пространственной инверсии \[ \left(x_{0}, \boldsymbol{x}\right) \rightarrow\left(x_{0},-\boldsymbol{x}\right) \] пунктирный и непунктирный С. переходят друг в друга: \[ \xi^{\alpha} \rightarrow i \xi_{\dot{\alpha}}, \quad \xi_{\dot{\alpha}} \rightarrow i \xi^{\alpha} . \] Включение инверсий означает переход от собственной группы Лоренца $S O(3,1)$ к группе Лоренца $O(3,1)$. Поэтому простейшее спинорное представление $O(3,1)$ четырехмерно и образовано биспинором $\xi_{\alpha} \otimes \xi_{\dot{\alpha}}(\otimes-$ знак тензорного произведения), обычно записываемым в виде столбца: \[ \psi=\left\|\begin{array}{c} \xi^{\alpha} \\ \xi_{\dot{\alpha}} \end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{l} \psi_{+} \\ \psi_{-} \end{array}\right\| \] Инвариантные и ковариантные билинейные формы в пространстве биспиноров строятся с помощью Дирака матриц $\gamma^{\mu}, \mu=0,1,2,3, \gamma^{5}=\gamma^{0} \gamma^{1} \gamma^{2} \gamma^{3}$ и определения дираковского сопряжения $\bar{\psi}_{Д}=\psi^{+} \gamma^{0}$ («+» означает эрмитово сопряжение). Так, формы $\bar{\psi} \psi, \bar{\psi} \gamma^{5} \psi, \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi-$ есть соответственно скаляр, псевдоскаляр и 4-вектор относительно преобразований из $O(3,1)$. Помимо дираковского вводят майорановское сопряжение \[ \bar{\psi}_{M}=\psi^{\top} C \] ( ${ }^{\top}$ - означает транспонирование), где $C$ - матрица зарядового сопряжения. Майорановским спинором называется С., для К-рого $\bar{\psi}_{\mathbf{M}}$ пропорционален $\Psi_{\text {д }}$ (множитель пропорциональности зависит от представления матриц Дирака); в частности, в майорановском представлении (где $\gamma^{\mu}$ и $\sigma^{\mu v}=\left[\gamma^{\mu}, \gamma^{v}\right]$ вещественны) компоненты майорановского С. вещественны. Вейлевским спинором называется С., удовлетворяющий соотношению или \[ \psi_{+}=(1 / 2)\left(I+\gamma^{5}\right) \psi_{+} \] \[ \psi_{-}=(1 / 2)\left(I-\gamma^{5}\right) \varphi_{-}, \] где $I-$ единичная матрица (соответственно правый и левый С.). Число его компонент также вдвое меньше обычного; он используется в теориях с киральной симметрией. В пространстве биспиноров можно задать линейное релятивистски инвариантное уравнение, описывающее частицы со спином 1/2 (спинорные частицы), с ненулевой массой Дирака уравнение, с нулевой массой - Вейля уравнение. С., связанные с многомерными пространствами, находят применение в теории тяготения, теории Калуцы - Клейна, теории суперструн и т. д. Многообещающие применения теории С. связаны с теорией твисторов. Спинорные многообразия. Глобально спинорное поле можно задать не на любом многомерном пространстве. Существование таких пространств (спинорных многообразий) определяется топологич. инвариантами. Первые упоминания двузначной природы группы вращений восходят к Л. Эйлеру (L. Euler) (параметризации группы вращений углами Эйлера). В работах О. Родригеса (O. Rodrigues), У. Гамильтона (W. Hamilton), А. Кэли (A. Cayley), У. Клиффорда (W. Clifford) и др. были получены важные результаты, нашедшие естественное продолжение в рамках теории С. Построение спинорных представлений в инфинитезимальной форме проведено Э. Картаном (E. Cartan, 1913). Дальнейшее развитие теории С. инициировалось открытием спина электрона (1925) и появлением уравнений П. Дирака (P. Dirac) и Г. Вейля (H. Weyl). Спинорное исчисление было построено в работах Б. Ван-дер-Вардена (В. van der Waerden) и др. Термин «С.» предложен П. Эренфестом (P. Ehrenfest, 1929).