СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ

частичная или полная потеря системой имеющейся в ней симметрии, выражающаяся в том, что энергетически или термодинамически наиболее выгодные состояния системы обладают меньшей симметрией, чем уравнения, ее описывающие, причем преобразования симметрии переводят эти состояния друг в друга. Примером системы со С. н.с. может служить изотропный ферромагнетик, состоящий из локализованных спинов. Такая система инвариантна относительно 3-мерных вращений, то есть преобразования из группы $S U(3)$; вместе с тем ее энергия становится минимальной, когда все спины выстраиваются в одном (произвольном) направлении. Если это происходит, то в системе появляется ненулевой магнитный момент и остается инвариантность относительно вращений лишь в плоскости, ему ортогональной. Таким образом, $\boldsymbol{S U}(3)$-симметрия системы нарушается до $S U(2)$-симметрии. Идея о возможности С. н.с. восходит к Л. Д. Ландау, к-рый отметил в качестве общей черты фазовых переходов 2-го рода возникновение в точке перехода нового типа симметрии; эту идею можно сформулировать и в другой форме: при фазовом переходе спонтанно нарушается симметрия системы. Известно большое число примеров С. н. с. В теории конденсированного состояния к ним можно отнести явления ферромагнетизма, сверхтекучести и сверхпроводимости, в теории элементарных частиц - модели электрослабого взаимодействия. Математически корректный способ описания С. н.с., пригодный как для квантовой теории поля, так и для классич. и квантовой статистик, был предложен Н. Н. Боголюбовым в 1960 и носит название метода квазисредних. Идея метода заключается в следующем. Система подвергается воздействию внешнего поля, нарушающего ее симметрию, после чего поле устремляется к нулю. Так как внешнее поле нарушает симметрию системы, в ней может возникнуть ненулевое среднее от величины, неинвариантной относительно группы симметрии невозмущенной системы Если при стремлении внешнего поля к нулю это среднее не обращается в нуль, то говорят, что в системе имеется спонтанное среднее (или конденсат), нарушающее симметрию. Таким образом, симметрия системы понизилась. В квантовой теории поля, где все усреднения проводятся по основному состоянию системы, или вакууму, эффект С. н.с. соответствует эффекту вырождения вакуума. Группой, до к-рой нарушается симметрия, является подгруппа группы симметрии, переводящая вакуум в себя, а все вакуумы теории параметризуются элементами факторпространства (дополнительного пространства) группы симметрии по подгруппе, до к-рой нарушается симметрия. Включение внешнего поля, нарушающего симметрию системы до группы инвариантности вакуума, полностью снимает вырождение, и усреднение проводится по единственному основному состоянию, причем при стремлении внешнего поля к нулю это состояние стремится $\mathbf{K}$ одному из вакуумов невозмущенной теории. Таким образом, применение метода квазисредних в квантовой теории поля сводится к выбору основного состояния, по к-рому проводятся усреднения, а неинвариантность ненулевых спонтанных средних относительно группы симметрии системы является следствием неинвариантности вакуумов по отношению к этой группе. В случае, когда нарушается непрерывная симметрия, в системе существуют флуктуации, представляющие собой колебания спонтанного среднего в направлениях, отвечающих его изменениям под действием группы симметрии. Те флуктуации, к-рые при стремлении их характерных размеров к бесконечности происходят без увеличения энергии, называются голдстоуновскими модами. Количество голдстоуновских мод равно размерности факторпространства группы высокой симметрии по подгруппе низкой (остаточной) симметрии. В квантовой теории поля голдстоуновским модам соответствуют элементарные возбуждения, или квазичастицы с бесщелевым спектром - безмассовые голдстоуновские частицы (голдстоуновские бозоны, голдстоуновские фермионы). Утверждение о том, что в квантовой теории поля со спонтанно нарушенной непрерывной симметрией имеются безмассовые частицы, называется Голдстоуна теоремой (в нерелятивистской теории многих тел это утверждение доказано Н. Н. Боголюбовым и называется теоремой о $1 / q^{2} ;$ см. Боголюбова теорема). При нарушении дискретной симметрии голдстоуновские моды, естественно, не появляются. Анализ возможности С. н. с. часто начинают с нахождения классич. решений, минимизирующих гамильтониан. Если для таких решений имеется вырождение, то говорят о нарушении симметрии на классич. уровне. При этом может оказаться, что учет флуктуаций приведет к обращению спонтанных средних в нуль. Поскольку флуктуации уменьшаются с ростом числа степеней свободы, их роль возрастает в системах с низкой размерностью, причем наиболее сильными являются длинноволновые голдстоуновские флуктуации, так как они сопровождаются очень малым увеличением энергии. Все это приводит к тому, что спонтанное нарушение непрерывной симметрии возможно лишь в системах размерности выше двух. В одно- и двумерных системах спонтанное нарушение непрерывной симметрии на классич. уровне сопровождается бесконечно большими голдстоуновскими флуктуациями и симметрия восстанавливается. При этом в двумерных системах дискретная симметрия может нарушаться, как это происходит, напр., в модели Изинга. В одномерных системах даже флуктуации с неисчезающей в ДВ-пределе энергией становятся достаточно сильными для того, чтобы восстановить любую нарушенную симметрию. Механизм восстановления дискретной симметрии в одномерных системах состоит в том, что системе становится термодинамически выгодно разбиться на участки малого размера (домены) со всевозможными допустимыми значениями спонтанного среднего, что приводит к восстановлению симметрии. В случае, когда непрерывная симметрия в системе из-за взаимодействия с калибровочным полем становится локальной (то есть допускаются преобразования, зависящие от координат), ее нарушение не сопровождается появлением голдстоуновских мод, так как в данной ситуации голдстоуновские моды являются чисто калибровочными, то есть нефизическими. Однако соответствующие компоненты калибровочного поля могут приобретать массу и становятся наблюдаемыми, как, напр., промежуточные векторные бозоны в стандартной теории электрослабого взаимодействия. Этот эффект называется эффектом Хиггса, а механизм, к нему приводящий, - механизмом Хиггса. Отметим, что С. н. с. в квантовой теории поля не следует связывать с нарушением симметрии из-за возникновения аномалий: аномалии появляются вследствие невозможности инвариантной регуляризации классич. гамильтониана, и поэтому данное нарушение симметрии обусловлено лишь тем, что квантовый гамильтониан обладает более низкой симметрией по сравнению с классическим.

частичная или полная потеря системой имеющейся в ней симметрии, выражающаяся в том, что энергетически или термодинамически наиболее выгодные состояния системы обладают меньшей симметрией, чем уравнения, ее описывающие, причем преобразования симметрии переводят эти состояния друг в друга. Примером системы со С. н.с. может служить изотропный ферромагнетик, состоящий из локализованных спинов. Такая система инвариантна относительно 3-мерных вращений, то есть преобразования из группы $S U(3)$; вместе с тем ее энергия становится минимальной, когда все спины выстраиваются в одном (произвольном) направлении. Если это происходит, то в системе появляется ненулевой магнитный момент и остается инвариантность относительно вращений лишь в плоскости, ему ортогональной. Таким образом, $\boldsymbol{S U}(3)$-симметрия системы нарушается до $S U(2)$-симметрии. Идея о возможности С. н.с. восходит к Л. Д. Ландау, к-рый отметил в качестве общей черты фазовых переходов 2-го рода возникновение в точке перехода нового типа симметрии; эту идею можно сформулировать и в другой форме: при фазовом переходе спонтанно нарушается симметрия системы. Известно большое число примеров С. н. с. В теории конденсированного состояния к ним можно отнести явления ферромагнетизма, сверхтекучести и сверхпроводимости, в теории элементарных частиц - модели электрослабого взаимодействия. Математически корректный способ описания С. н.с., пригодный как для квантовой теории поля, так и для классич. и квантовой статистик, был предложен Н. Н. Боголюбовым в 1960 и носит название метода квазисредних. Идея метода заключается в следующем. Система подвергается воздействию внешнего поля, нарушающего ее симметрию, после чего поле устремляется к нулю. Так как внешнее поле нарушает симметрию системы, в ней может возникнуть ненулевое среднее от величины, неинвариантной относительно группы симметрии невозмущенной системы Если при стремлении внешнего поля к нулю это среднее не обращается в нуль, то говорят, что в системе имеется спонтанное среднее (или конденсат), нарушающее симметрию. Таким образом, симметрия системы понизилась. В квантовой теории поля, где все усреднения проводятся по основному состоянию системы, или вакууму, эффект С. н.с. соответствует эффекту вырождения вакуума. Группой, до к-рой нарушается симметрия, является подгруппа группы симметрии, переводящая вакуум в себя, а все вакуумы теории параметризуются элементами факторпространства (дополнительного пространства) группы симметрии по подгруппе, до к-рой нарушается симметрия. Включение внешнего поля, нарушающего симметрию системы до группы инвариантности вакуума, полностью снимает вырождение, и усреднение проводится по единственному основному состоянию, причем при стремлении внешнего поля к нулю это состояние стремится $\mathbf{K}$ одному из вакуумов невозмущенной теории. Таким образом, применение метода квазисредних в квантовой теории поля сводится к выбору основного состояния, по к-рому проводятся усреднения, а неинвариантность ненулевых спонтанных средних относительно группы симметрии системы является следствием неинвариантности вакуумов по отношению к этой группе. В случае, когда нарушается непрерывная симметрия, в системе существуют флуктуации, представляющие собой колебания спонтанного среднего в направлениях, отвечающих его изменениям под действием группы симметрии. Те флуктуации, к-рые при стремлении их характерных размеров к бесконечности происходят без увеличения энергии, называются голдстоуновскими модами. Количество голдстоуновских мод равно размерности факторпространства группы высокой симметрии по подгруппе низкой (остаточной) симметрии. В квантовой теории поля голдстоуновским модам соответствуют элементарные возбуждения, или квазичастицы с бесщелевым спектром - безмассовые голдстоуновские частицы (голдстоуновские бозоны, голдстоуновские фермионы). Утверждение о том, что в квантовой теории поля со спонтанно нарушенной непрерывной симметрией имеются безмассовые частицы, называется Голдстоуна теоремой (в нерелятивистской теории многих тел это утверждение доказано Н. Н. Боголюбовым и называется теоремой о $1 / q^{2} ;$ см. Боголюбова теорема). При нарушении дискретной симметрии голдстоуновские моды, естественно, не появляются. Анализ возможности С. н. с. часто начинают с нахождения классич. решений, минимизирующих гамильтониан. Если для таких решений имеется вырождение, то говорят о нарушении симметрии на классич. уровне. При этом может оказаться, что учет флуктуаций приведет к обращению спонтанных средних в нуль. Поскольку флуктуации уменьшаются с ростом числа степеней свободы, их роль возрастает в системах с низкой размерностью, причем наиболее сильными являются длинноволновые голдстоуновские флуктуации, так как они сопровождаются очень малым увеличением энергии. Все это приводит к тому, что спонтанное нарушение непрерывной симметрии возможно лишь в системах размерности выше двух. В одно- и двумерных системах спонтанное нарушение непрерывной симметрии на классич. уровне сопровождается бесконечно большими голдстоуновскими флуктуациями и симметрия восстанавливается. При этом в двумерных системах дискретная симметрия может нарушаться, как это происходит, напр., в модели Изинга. В одномерных системах даже флуктуации с неисчезающей в ДВ-пределе энергией становятся достаточно сильными для того, чтобы восстановить любую нарушенную симметрию. Механизм восстановления дискретной симметрии в одномерных системах состоит в том, что системе становится термодинамически выгодно разбиться на участки малого размера (домены) со всевозможными допустимыми значениями спонтанного среднего, что приводит к восстановлению симметрии. В случае, когда непрерывная симметрия в системе из-за взаимодействия с калибровочным полем становится локальной (то есть допускаются преобразования, зависящие от координат), ее нарушение не сопровождается появлением голдстоуновских мод, так как в данной ситуации голдстоуновские моды являются чисто калибровочными, то есть нефизическими. Однако соответствующие компоненты калибровочного поля могут приобретать массу и становятся наблюдаемыми, как, напр., промежуточные векторные бозоны в стандартной теории электрослабого взаимодействия. Этот эффект называется эффектом Хиггса, а механизм, к нему приводящий, - механизмом Хиггса. Отметим, что С. н. с. в квантовой теории поля не следует связывать с нарушением симметрии из-за возникновения аномалий: аномалии появляются вследствие невозможности инвариантной регуляризации классич. гамильтониана, и поэтому данное нарушение симметрии обусловлено лишь тем, что квантовый гамильтониан обладает более низкой симметрией по сравнению с классическим.