СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ

Принятое в статистической физике название фазового пространства (пространства состояний) какой-нибудь физической системы вместе с некоторым способом усреднения физических величин (так наз. наблюдаемых), связанных с этой системой. В случае классич. системы с фазовым пространством $\Omega$ наблюдаемые - действительные функции, определенные на $\Omega$, а их усреднение происходит с помощью интегрирования по нек-рой вероятностной мере $\mu$ на пространстве $\Omega$. В случае квантовой системы, описываемой векторами гильбертова пространства $\mathscr{H}$, наблюдаемые задаются самосопряженными операторами, действующими в $\mathscr{\nVdash}$, и усреднение вводится с помощью нек-рого положительного и нормированного функционала $\rho$, определенного на алгебре $\mathfrak{u}(\mathscr{\mathcal { C }})$ операторов, действующих в $\mathscr{\mathcal { H }}$ [такие функционалы на $\mathfrak{u}(\mathscr{K})$ называются состояниями]. Обычно состояние задается в виде \[ \rho(A)=\operatorname{Tr} \hat{\rho}(A), A \in \mathfrak{u}(. \mathscr{C}), \] где $\hat{\rho}-$ положительный оператор в $\mathscr{H}$ такой, что $\operatorname{Tr} \hat{\rho}=1$ (оператор $\hat{\rho}$ называется матрицей плотности состояния $\rho$ ). Если задана эволюция физич. системы во времени (динамика системы), то есть (в классич. случае) - группа $\Gamma_{t}: \Omega \rightarrow \Omega, t \in \mathbb{R}$, взаимно однозначных преобразований фазового пространства в себя, порождаемая гамильтоновыми уравнениями движения с нек-рой функцией Гамильтона $H(\omega), \omega \in \Omega$ (энергия системы), или (в квантовом случае) - группа унитарных преобразований $U_{t}: \mathscr{H} \rightarrow \mathscr{H}$, $t \in \mathbb{R}$, гильбертова пространства в себя, порождаемая оператором Гамильтона $\hat{H}$ (оператором энергии системы), то естественно определяется эволюция во времени любого С. а., определенного для этой системы: \[ \left.\begin{array}{ll} \mu_{t}(C)=\mu\left(\Gamma_{t}^{-1} C\right), C \subset \Omega & \text { (классический случай), } \\ \rho_{t}(A)=\rho\left(U_{t} A U_{t}^{-1}\right) & \text { (квантовый случай }) . \end{array}\right\} \] Для описания стационарного поведения системы рассматриваются равновесные ансамбли, то есть меры или состояния, неизменные относительно эволюции (2). Хотя равновесных С. а., вообще говоря, много, в статистич. физике рассматривают только специальные - так наз. канонические ансамбли Гиббса (распределения). Классические ансамбли Гиббса. Пусть кроме гамильтониана $H=H_{0}(\omega)$ имеется нек-рый функционально независимый вместе с $H_{0}$ набор $H_{1}(\omega), \ldots, H_{k}(\omega), k=0$, $1, \ldots$, функций на $\Omega$, инвариантных относительно динамики $\Gamma_{t}$ (в случае систем, состоящих из конечного, но произвольного числа частиц одного или нескольких видов, $H_{i}(\omega)$ равно, напр., числу частиц какого-нибудь вида в конфигурации $\omega \in \Omega$; в случае системы магнитных диполей $H_{i}(\omega)$ равно какой-нибудь составляющей их суммарного магнитного момента и т. д.). Большим каноническим ансамблем Гиббса называется мера \[ d \mu_{\beta, v_{1}, \ldots, v_{k}}=(\Xi)^{-1} \exp \left\{-\beta\left(H_{0}+v_{1} H_{1}+\ldots+v_{k}\right)\right\} d \omega, \] где $d \omega-$ мера, порождаемая симплектич. структурой на $\Omega$, $\beta>0$ и $v_{1}, \ldots, v_{k}$ - действительные параметры, а $\Xi-$ нормировочный множитель, называемый большой статистической суммой: \[ \Xi=\int_{\Omega} \exp \left\{-\beta\left(H_{0}+v_{1} H_{1}+\ldots+v_{k} H_{k}\right)\right\} d \omega . \] Мера $\quad \mu_{h_{0}}, h_{1}, \ldots, h_{k}, \quad$ сосредоточенная на множестве $\left\{\omega \mid H_{i}(\omega)=h_{i}, i=0,1, \ldots, k\right\}, h_{i} \in \mathbb{R}, i=0,1, \ldots, k$, и совпадающая с условным распределением на этом множестве, порожденным мерой (3), называется микроканоническим ансамблем Гиббса. Рассматриваются также и «промежуточные» ансамбли - так наз. малые канонические ансамбли Гиббса, получающиеся аналогичным образом из ансамбля (3) фиксированием значений всех или части функций $H_{i}(\omega), i=1,2, \ldots, k$. Квантовые ансамбли Гиббса. Пусть $\hat{H}_{1}, \ldots, \hat{H}_{k}$ ( $k$ - произвольно) - попарно коммутирующие операторы, коммутирующие с оператором $\hat{H}=\hat{H}_{0}$ («сохраняющиеся величины»). Состояние на $\mathfrak{u}(\mathscr{H})$, задаваемое матрицей плотности \[ \text { где } \hat{\rho}_{\beta, v_{1}, \ldots, v_{k}}=(\Xi)^{-1} \exp \left\{-\beta\left(\hat{H}_{0}+v_{1} \hat{H}_{1}+\ldots+v_{k} \hat{H}_{k}\right)\right\}, \] \[ (\Xi)=\operatorname{Tr}\left(\exp \left\{-\beta\left(\hat{H}_{0}+v_{1} \hat{H}_{1}+v_{k} \hat{H}_{k}\right)\right\}\right. \] - большая статистическая сумма, а $\beta>0, v_{1}, \ldots$, $v_{k}$ - параметры, называется большим каноническим ансамблем Гиббса. Пусть $P_{\hat{H}_{i}}^{h_{i}}, i=0,1, \ldots, k,-$ проекторы в $\mathscr{H}$ на собственное подпространство оператора $\hat{H}_{i}$ с собственным значением $h_{i}$. Микроканоническим ансамблем Гиббса называется состояние с матрицей плотности \[ \hat{\rho}_{h_{0}, h_{1}, \ldots, h_{k}}=(Q)^{-1} P_{\hat{H}_{0}}^{h_{0}} P_{\hat{H}_{1}}^{h_{1}} \ldots P_{\hat{H}_{k}}^{h_{k}}, \] где $Q=\operatorname{dim}\left(\operatorname{lm} \hat{\rho}_{h_{0}}, h_{1}, \ldots, h_{k}\right)$. Аналогично вводятся и малые канонические ансамбли Гиббса, напр. С. а. с матрицей плотности \[ \hat{\rho}_{\beta, h_{1}, \ldots, h_{k}}=(Z)^{-1} \exp \left\{-\beta \hat{H}_{0}\right\} \prod_{i=1}^{k} P_{\hat{H}_{i}}^{h_{i}}, \] где $Z$ - нормирующий множитель (малая статистическая сумма). Иногда рассматриваются нек-рые модельные модификации описанных С. а. (напр., ансамбли Гиббса в конфигурационных или решетчатых системах), а также так наз. предельные ансамбли Гиббса, то есть распределения вероятностей (или состояния) на фазовом пространстве бесконечной системы (напр., системы с бесконечным числом частиц, движущихся во всем пространстве). Эти С. а. возникают с помощью термодинамич. предельного перехода из описанных выше ансамблей для конечных систем (см. [3]). Существует гипотеза - так наз. принцип предельной эквивалентности ансамблей - о том, что при выполнении нек-рых естественных условий (грубо говоря, в отсутствии фазового перехода) предельные гиббсовские С. а., получающиеся с помощью разных допредельных гиббсовских ансамблей (большого канонического, малого канонического, микроканонического), совпадают при определенном соответствии между задающими эти ансамбли параметрами. Эта гипотеза подтверждена (см. [3]) для нек-рых частных ситуаций. Лит.: [1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, 2 изд., М., 1964; [2] Минлос Р. А., «Успехи математич. наук», 1968, т. 23, в. 1, с. 133-90; [3] Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, пер. с англ., М., 1970; [4] Престон К., Гиббсовские состояния на счетных множествах, пер. с англ., М., 1977. \[ \text { P. A. Минлос. } \]

Принятое в статистической физике название фазового пространства (пространства состояний) какой-нибудь физической системы вместе с некоторым способом усреднения физических величин (так наз. наблюдаемых), связанных с этой системой. В случае классич. системы с фазовым пространством $\Omega$ наблюдаемые - действительные функции, определенные на $\Omega$, а их усреднение происходит с помощью интегрирования по нек-рой вероятностной мере $\mu$ на пространстве $\Omega$. В случае квантовой системы, описываемой векторами гильбертова пространства $\mathscr{H}$, наблюдаемые задаются самосопряженными операторами, действующими в $\mathscr{\nVdash}$, и усреднение вводится с помощью нек-рого положительного и нормированного функционала $\rho$, определенного на алгебре $\mathfrak{u}(\mathscr{\mathcal { C }})$ операторов, действующих в $\mathscr{\mathcal { H }}$ [такие функционалы на $\mathfrak{u}(\mathscr{K})$ называются состояниями]. Обычно состояние задается в виде \[ \rho(A)=\operatorname{Tr} \hat{\rho}(A), A \in \mathfrak{u}(. \mathscr{C}), \] где $\hat{\rho}-$ положительный оператор в $\mathscr{H}$ такой, что $\operatorname{Tr} \hat{\rho}=1$ (оператор $\hat{\rho}$ называется матрицей плотности состояния $\rho$ ). Если задана эволюция физич. системы во времени (динамика системы), то есть (в классич. случае) - группа $\Gamma_{t}: \Omega \rightarrow \Omega, t \in \mathbb{R}$, взаимно однозначных преобразований фазового пространства в себя, порождаемая гамильтоновыми уравнениями движения с нек-рой функцией Гамильтона $H(\omega), \omega \in \Omega$ (энергия системы), или (в квантовом случае) - группа унитарных преобразований $U_{t}: \mathscr{H} \rightarrow \mathscr{H}$, $t \in \mathbb{R}$, гильбертова пространства в себя, порождаемая оператором Гамильтона $\hat{H}$ (оператором энергии системы), то естественно определяется эволюция во времени любого С. а., определенного для этой системы: \[ \left.\begin{array}{ll} \mu_{t}(C)=\mu\left(\Gamma_{t}^{-1} C\right), C \subset \Omega & \text { (классический случай), } \\ \rho_{t}(A)=\rho\left(U_{t} A U_{t}^{-1}\right) & \text { (квантовый случай }) . \end{array}\right\} \] Для описания стационарного поведения системы рассматриваются равновесные ансамбли, то есть меры или состояния, неизменные относительно эволюции (2). Хотя равновесных С. а., вообще говоря, много, в статистич. физике рассматривают только специальные - так наз. канонические ансамбли Гиббса (распределения). Классические ансамбли Гиббса. Пусть кроме гамильтониана $H=H_{0}(\omega)$ имеется нек-рый функционально независимый вместе с $H_{0}$ набор $H_{1}(\omega), \ldots, H_{k}(\omega), k=0$, $1, \ldots$, функций на $\Omega$, инвариантных относительно динамики $\Gamma_{t}$ (в случае систем, состоящих из конечного, но произвольного числа частиц одного или нескольких видов, $H_{i}(\omega)$ равно, напр., числу частиц какого-нибудь вида в конфигурации $\omega \in \Omega$; в случае системы магнитных диполей $H_{i}(\omega)$ равно какой-нибудь составляющей их суммарного магнитного момента и т. д.). Большим каноническим ансамблем Гиббса называется мера \[ d \mu_{\beta, v_{1}, \ldots, v_{k}}=(\Xi)^{-1} \exp \left\{-\beta\left(H_{0}+v_{1} H_{1}+\ldots+v_{k}\right)\right\} d \omega, \] где $d \omega-$ мера, порождаемая симплектич. структурой на $\Omega$, $\beta>0$ и $v_{1}, \ldots, v_{k}$ - действительные параметры, а $\Xi-$ нормировочный множитель, называемый большой статистической суммой: \[ \Xi=\int_{\Omega} \exp \left\{-\beta\left(H_{0}+v_{1} H_{1}+\ldots+v_{k} H_{k}\right)\right\} d \omega . \] Мера $\quad \mu_{h_{0}}, h_{1}, \ldots, h_{k}, \quad$ сосредоточенная на множестве $\left\{\omega \mid H_{i}(\omega)=h_{i}, i=0,1, \ldots, k\right\}, h_{i} \in \mathbb{R}, i=0,1, \ldots, k$, и совпадающая с условным распределением на этом множестве, порожденным мерой (3), называется микроканоническим ансамблем Гиббса. Рассматриваются также и «промежуточные» ансамбли - так наз. малые канонические ансамбли Гиббса, получающиеся аналогичным образом из ансамбля (3) фиксированием значений всех или части функций $H_{i}(\omega), i=1,2, \ldots, k$. Квантовые ансамбли Гиббса. Пусть $\hat{H}_{1}, \ldots, \hat{H}_{k}$ ( $k$ - произвольно) - попарно коммутирующие операторы, коммутирующие с оператором $\hat{H}=\hat{H}_{0}$ («сохраняющиеся величины»). Состояние на $\mathfrak{u}(\mathscr{H})$, задаваемое матрицей плотности \[ \text { где } \hat{\rho}_{\beta, v_{1}, \ldots, v_{k}}=(\Xi)^{-1} \exp \left\{-\beta\left(\hat{H}_{0}+v_{1} \hat{H}_{1}+\ldots+v_{k} \hat{H}_{k}\right)\right\}, \] \[ (\Xi)=\operatorname{Tr}\left(\exp \left\{-\beta\left(\hat{H}_{0}+v_{1} \hat{H}_{1}+v_{k} \hat{H}_{k}\right)\right\}\right. \] - большая статистическая сумма, а $\beta>0, v_{1}, \ldots$, $v_{k}$ - параметры, называется большим каноническим ансамблем Гиббса. Пусть $P_{\hat{H}_{i}}^{h_{i}}, i=0,1, \ldots, k,-$ проекторы в $\mathscr{H}$ на собственное подпространство оператора $\hat{H}_{i}$ с собственным значением $h_{i}$. Микроканоническим ансамблем Гиббса называется состояние с матрицей плотности \[ \hat{\rho}_{h_{0}, h_{1}, \ldots, h_{k}}=(Q)^{-1} P_{\hat{H}_{0}}^{h_{0}} P_{\hat{H}_{1}}^{h_{1}} \ldots P_{\hat{H}_{k}}^{h_{k}}, \] где $Q=\operatorname{dim}\left(\operatorname{lm} \hat{\rho}_{h_{0}}, h_{1}, \ldots, h_{k}\right)$. Аналогично вводятся и малые канонические ансамбли Гиббса, напр. С. а. с матрицей плотности \[ \hat{\rho}_{\beta, h_{1}, \ldots, h_{k}}=(Z)^{-1} \exp \left\{-\beta \hat{H}_{0}\right\} \prod_{i=1}^{k} P_{\hat{H}_{i}}^{h_{i}}, \] где $Z$ - нормирующий множитель (малая статистическая сумма). Иногда рассматриваются нек-рые модельные модификации описанных С. а. (напр., ансамбли Гиббса в конфигурационных или решетчатых системах), а также так наз. предельные ансамбли Гиббса, то есть распределения вероятностей (или состояния) на фазовом пространстве бесконечной системы (напр., системы с бесконечным числом частиц, движущихся во всем пространстве). Эти С. а. возникают с помощью термодинамич. предельного перехода из описанных выше ансамблей для конечных систем (см. [3]). Существует гипотеза - так наз. принцип предельной эквивалентности ансамблей - о том, что при выполнении нек-рых естественных условий (грубо говоря, в отсутствии фазового перехода) предельные гиббсовские С. а., получающиеся с помощью разных допредельных гиббсовских ансамблей (большого канонического, малого канонического, микроканонического), совпадают при определенном соответствии между задающими эти ансамбли параметрами. Эта гипотеза подтверждена (см. [3]) для нек-рых частных ситуаций. Лит.: [1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, 2 изд., М., 1964; [2] Минлос Р. А., «Успехи математич. наук», 1968, т. 23, в. 1, с. 133-90; [3] Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты, пер. с англ., М., 1970; [4] Престон К., Гиббсовские состояния на счетных множествах, пер. с англ., М., 1977. \[ \text { P. A. Минлос. } \]