СУПЕРПРОСТРАНСТВО

расширенное пространство в теории суперсимметрии, которое кроме обычных пространственно-временных координат включает также спинорные координаты. Для простой суперсимметрии известны вещественное суперпространство \[ \mathbb{R}^{4 / 4}=\left\{x^{\mu}, \theta^{\alpha}, \bar{\theta}^{\dot{\alpha}}\right\} \] содержащее наряду с векторной координатой $x^{\mu}$ дополнительные спинорные координаты $\theta^{\alpha}, \bar{\theta}^{\dot{\alpha}}(\alpha, \dot{\alpha}=1,2)$, объединяемые в вещественный майорановский спинор $\theta=\left(\theta^{\alpha} / \bar{\theta} \dot{\alpha}\right)$, и киральное суперпространство $\mathbb{C}^{4 / 2}=\left\{z_{L}\right\} \equiv\left\{x_{L}^{\mu}, \theta_{L}^{\alpha}\right\}$, к-рое является комплексным и его спинорные координаты образуют двухкомпонентный (левый, $L$ ) вейлевский спинор (см. Вейля уравнение). В отсутствие гравитации вещественное C. $\mathbb{R}^{4 / 4}$ есть гиперповерхность в комплексном $\mathrm{C}$. $\mathbb{C}^{4 / 2}$, определяемая уравнениями \[ x_{L}^{\mu}=x^{\mu}+i \theta \sigma^{\mu} \bar{\theta}, \quad \theta_{L}^{\alpha}=\theta^{\alpha},\left(\theta_{L}^{\alpha}\right)=\bar{\theta}^{\dot{\alpha}} . \] Здесь черта означает комплексное сопряжение, $\sigma^{\mu}=(1, \sigma)$, $\sigma$ - Паули матрицы. Группой простой суперсимметрии является группа общих преобразований координат кирального $\mathrm{C} . \mathbb{C}^{4 \mid 2}$ : \[ x_{L}^{\mu^{\prime}}=x_{L}^{\mu}+\lambda^{\mu}\left(x_{L}, \theta_{L}\right), \theta_{L}^{\dot{\alpha}}=\theta_{L}^{\alpha}+\lambda^{\alpha}\left(x_{L}, \theta_{L}\right), \] ограниченных условием, что их супердетерминант (березиниан) равен единице: \[ \operatorname{Ber} \frac{\partial\left(x_{L}^{\prime}, \theta_{L}^{\prime}\right)}{\partial\left(x_{L}, \theta_{L}\right)}=1 \] то есть условием сохранения суперобъема $\mathbb{C}^{4 / 2}$. Инфинитезимально оно имеет вид: \[ \frac{\partial \lambda^{\mu}}{\partial x_{L}^{\mu}}-\frac{\partial \lambda^{\alpha}}{\partial \theta^{\alpha}}=0 \] Общие преобразования координат $x_{L}^{\mu}$ даются первым членом разложения по $\theta_{L}$ суперпараметра $\lambda^{\mu}\left(x_{L}, \theta_{L}\right)$, локальная суперсимметрия - первым членом разложения суперпараметра $\lambda^{\alpha}\left(x_{L}, \theta_{L}\right)$; локальным преобразованиям Лоренца отвечает линейный по $\theta_{L}$ член этого разложения. Остальные члены разложений $\lambda^{\mu}$ и $\lambda^{\alpha}$ либо соответствуют локальной конформной суперсимметрии и обращаются в нуль, либо описывают чисто калибровочные степени свободы. Концепция С. играет ключевую роль в суперсимметрии: группа преобразований суперсимметрии имеет естественную реализацию в С. как группа его движений, а соответствующие супермультиплеты компактно представляются суперполями - функциями, заданными на С. Е. А. Иванов, В. И. Огиевецкий.

расширенное пространство в теории суперсимметрии, которое кроме обычных пространственно-временных координат включает также спинорные координаты. Для простой суперсимметрии известны вещественное суперпространство \[ \mathbb{R}^{4 / 4}=\left\{x^{\mu}, \theta^{\alpha}, \bar{\theta}^{\dot{\alpha}}\right\} \] содержащее наряду с векторной координатой $x^{\mu}$ дополнительные спинорные координаты $\theta^{\alpha}, \bar{\theta}^{\dot{\alpha}}(\alpha, \dot{\alpha}=1,2)$, объединяемые в вещественный майорановский спинор $\theta=\left(\theta^{\alpha} / \bar{\theta} \dot{\alpha}\right)$, и киральное суперпространство $\mathbb{C}^{4 / 2}=\left\{z_{L}\right\} \equiv\left\{x_{L}^{\mu}, \theta_{L}^{\alpha}\right\}$, к-рое является комплексным и его спинорные координаты образуют двухкомпонентный (левый, $L$ ) вейлевский спинор (см. Вейля уравнение). В отсутствие гравитации вещественное C. $\mathbb{R}^{4 / 4}$ есть гиперповерхность в комплексном $\mathrm{C}$. $\mathbb{C}^{4 / 2}$, определяемая уравнениями \[ x_{L}^{\mu}=x^{\mu}+i \theta \sigma^{\mu} \bar{\theta}, \quad \theta_{L}^{\alpha}=\theta^{\alpha},\left(\theta_{L}^{\alpha}\right)=\bar{\theta}^{\dot{\alpha}} . \] Здесь черта означает комплексное сопряжение, $\sigma^{\mu}=(1, \sigma)$, $\sigma$ - Паули матрицы. Группой простой суперсимметрии является группа общих преобразований координат кирального $\mathrm{C} . \mathbb{C}^{4 \mid 2}$ : \[ x_{L}^{\mu^{\prime}}=x_{L}^{\mu}+\lambda^{\mu}\left(x_{L}, \theta_{L}\right), \theta_{L}^{\dot{\alpha}}=\theta_{L}^{\alpha}+\lambda^{\alpha}\left(x_{L}, \theta_{L}\right), \] ограниченных условием, что их супердетерминант (березиниан) равен единице: \[ \operatorname{Ber} \frac{\partial\left(x_{L}^{\prime}, \theta_{L}^{\prime}\right)}{\partial\left(x_{L}, \theta_{L}\right)}=1 \] то есть условием сохранения суперобъема $\mathbb{C}^{4 / 2}$. Инфинитезимально оно имеет вид: \[ \frac{\partial \lambda^{\mu}}{\partial x_{L}^{\mu}}-\frac{\partial \lambda^{\alpha}}{\partial \theta^{\alpha}}=0 \] Общие преобразования координат $x_{L}^{\mu}$ даются первым членом разложения по $\theta_{L}$ суперпараметра $\lambda^{\mu}\left(x_{L}, \theta_{L}\right)$, локальная суперсимметрия - первым членом разложения суперпараметра $\lambda^{\alpha}\left(x_{L}, \theta_{L}\right)$; локальным преобразованиям Лоренца отвечает линейный по $\theta_{L}$ член этого разложения. Остальные члены разложений $\lambda^{\mu}$ и $\lambda^{\alpha}$ либо соответствуют локальной конформной суперсимметрии и обращаются в нуль, либо описывают чисто калибровочные степени свободы. Концепция С. играет ключевую роль в суперсимметрии: группа преобразований суперсимметрии имеет естественную реализацию в С. как группа его движений, а соответствующие супермультиплеты компактно представляются суперполями - функциями, заданными на С. Е. А. Иванов, В. И. Огиевецкий.