ВАЙТМАНА СИСТЕМА АКСИОМ

формулировка основных принципов релятивистской локальной квантовой теории поля, предложенная А. Вайтманом и Л. Гордингом [1]. Состоит в следующем. 1) Физич. состояния описываются единичными лучами гильбертова пространства $H$, в к-ром реализуется унитарное представление $U_{a, \Lambda}$ собственной группы Пуанкаре ( $a-$ трансляции, $\Lambda$ - преобразования Лоренца). Ввиду унитарности \[ U_{a, \Lambda}=\exp \left\{i a^{\mu} P_{\mu}\right\}, \] где эрмитов оператор $\boldsymbol{P}$ интерпретируется как оператор энергии-импульса. 2) Спектр оператора $P$ сосредоточен в замкнутом верхнем световом конусе. 3) Существует вакуум - единственное пуанкаре-инвариантное состояние $\Psi_{0} \in H$. 4) Поле $A$ является операторнозначной обобщенной функцией. Это означает, что имеется линейное отображение $\varphi \rightarrow A(\varphi)$ из пространства Шварца $S\left(\mathbb{R}^{4}\right)$ пробных функций в пространство действующих в $H$ операторов с общей инвариантной областью определения $D \ni \Psi_{0}$, причем матричные элементы $\langle\Phi, A(\varphi) \Psi\rangle$, где $\Phi, \Psi \in D$, непрерывны по $\varphi$. 5) Трансформационные свойства поля задаются формулой \[ U_{a, \Lambda}=A_{i}(\varphi) U_{a, \Lambda}^{-1}=\sum_{j} R_{i j}\left(\Lambda^{-1}\right) A_{j}\left(\varphi_{a, \Lambda}\right), \] где $i$ - индекс лоренцевой компоненты, \[ \varphi_{a, \Lambda}(x)=\varphi\left(\Lambda^{-1}(x-a)\right) \] и $\boldsymbol{R}$ - матричное представление группы Лоренца. 6) Причинность выражается требованием перестановочности или антиперестановочности любых двух полевых операторов, когда носители соответствующих пробных функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ пространственноподобно отделены. 7) Вакуум цикличен, то есть линейная оболочка векторов, получаемых из $\Psi_{0}$ последовательным применением конечного числа полевых операторов, плотна в $H$. Аксиоматич. подход позволил дать строгий вывод таких фундаментальных свойств квантовой физики, как связь спина со статистикой, $T C P$-инвариантность, существование асимптотич. состояний и унитарной матрицы рассеяния (см. [3]-[5]). Он лег в основу конструктивной квантовой теории поля, где построены удовлетворяющие В. с. а. модели взаимодействующих квантовых полей в 2- и 3-мерном пространстве-времени. Одна из возможностей расширения В. с. а. состоит в замене $S$ другим пространством пробных функций. Универсальным для локальных полей служит пространство $S^{1}$ Гельфанда - Шилова, допускающее формулировку аксиомы 6) в терминах теории гиперфункций (см. [6]). При обобщении В. с. а. на калибровочные поля используется псевдогильбертово пространство, имеющее индефинитную метрику (см. [5]). В случае неабелевой калибровочной симметрии перспективной считается формулировка аксиом для протяженных калибровочно-инвариантных объектов типа петель Вильсона (см. [7]). Лит.: [1] Wightman A. S., Gärding L., "Ark. f. Fys.», v. 28, p. 129-89; [2] Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 2, М., 1978; [3] Стритер Р., Вайтман А., РСТ, спин и статистика и все такое, пер. с англ., М., 1968; [4] Йост Р., Общая теория квантованных полей, пер. с англ., М., 1967; [5] Боголюбов Н. Н. и др., Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987; [6] Соловьев М. А., «Труды Физич. ин-та АН СССР», 1991, т. 209; [7] Зайлер Э., Калибровочные теории, пер. с англ., М., 1985. М. А. Соловьев.

формулировка основных принципов релятивистской локальной квантовой теории поля, предложенная А. Вайтманом и Л. Гордингом [1]. Состоит в следующем. 1) Физич. состояния описываются единичными лучами гильбертова пространства $H$, в к-ром реализуется унитарное представление $U_{a, \Lambda}$ собственной группы Пуанкаре ( $a-$ трансляции, $\Lambda$ - преобразования Лоренца). Ввиду унитарности \[ U_{a, \Lambda}=\exp \left\{i a^{\mu} P_{\mu}\right\}, \] где эрмитов оператор $\boldsymbol{P}$ интерпретируется как оператор энергии-импульса. 2) Спектр оператора $P$ сосредоточен в замкнутом верхнем световом конусе. 3) Существует вакуум - единственное пуанкаре-инвариантное состояние $\Psi_{0} \in H$. 4) Поле $A$ является операторнозначной обобщенной функцией. Это означает, что имеется линейное отображение $\varphi \rightarrow A(\varphi)$ из пространства Шварца $S\left(\mathbb{R}^{4}\right)$ пробных функций в пространство действующих в $H$ операторов с общей инвариантной областью определения $D \ni \Psi_{0}$, причем матричные элементы $\langle\Phi, A(\varphi) \Psi\rangle$, где $\Phi, \Psi \in D$, непрерывны по $\varphi$. 5) Трансформационные свойства поля задаются формулой \[ U_{a, \Lambda}=A_{i}(\varphi) U_{a, \Lambda}^{-1}=\sum_{j} R_{i j}\left(\Lambda^{-1}\right) A_{j}\left(\varphi_{a, \Lambda}\right), \] где $i$ - индекс лоренцевой компоненты, \[ \varphi_{a, \Lambda}(x)=\varphi\left(\Lambda^{-1}(x-a)\right) \] и $\boldsymbol{R}$ - матричное представление группы Лоренца. 6) Причинность выражается требованием перестановочности или антиперестановочности любых двух полевых операторов, когда носители соответствующих пробных функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ пространственноподобно отделены. 7) Вакуум цикличен, то есть линейная оболочка векторов, получаемых из $\Psi_{0}$ последовательным применением конечного числа полевых операторов, плотна в $H$. Аксиоматич. подход позволил дать строгий вывод таких фундаментальных свойств квантовой физики, как связь спина со статистикой, $T C P$-инвариантность, существование асимптотич. состояний и унитарной матрицы рассеяния (см. [3]-[5]). Он лег в основу конструктивной квантовой теории поля, где построены удовлетворяющие В. с. а. модели взаимодействующих квантовых полей в 2- и 3-мерном пространстве-времени. Одна из возможностей расширения В. с. а. состоит в замене $S$ другим пространством пробных функций. Универсальным для локальных полей служит пространство $S^{1}$ Гельфанда - Шилова, допускающее формулировку аксиомы 6) в терминах теории гиперфункций (см. [6]). При обобщении В. с. а. на калибровочные поля используется псевдогильбертово пространство, имеющее индефинитную метрику (см. [5]). В случае неабелевой калибровочной симметрии перспективной считается формулировка аксиом для протяженных калибровочно-инвариантных объектов типа петель Вильсона (см. [7]). Лит.: [1] Wightman A. S., Gärding L., "Ark. f. Fys.», v. 28, p. 129-89; [2] Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 2, М., 1978; [3] Стритер Р., Вайтман А., РСТ, спин и статистика и все такое, пер. с англ., М., 1968; [4] Йост Р., Общая теория квантованных полей, пер. с англ., М., 1967; [5] Боголюбов Н. Н. и др., Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987; [6] Соловьев М. А., «Труды Физич. ин-та АН СССР», 1991, т. 209; [7] Зайлер Э., Калибровочные теории, пер. с англ., М., 1985. М. А. Соловьев.