ТВИСТОР

точка трехмерного комплексного проективного пространства $T$, которое используется для реализации пространства Минковского $M$ в виде некоторого многообразия комплексных прямых в нем. Теория Т. предложена Р. Пенроузом (R. Penrose) в конце 60-х гг.; достаточно неожиданным в его твисторной программе (см. [1]) явилось привлечение комплексной геометрии для работы с вещественным пространством-временем. Множество $\mathbb{C} M$ всех прямых зависит от четырех комплексных параметров и в $T$ интерпретируется как комплексифицированное и (конформно) компактифицированное пространство Минковского. Оно представляет самостоятельный интерес в связи с аналитич. продолжением тех или иных физич. величин, первоначально заданных на пространстве Минковского, в комплексную область (напр., в трубу будущего). При этом точкам (компактифицированного) пространства Минковского отвечает нек-рое подмножество прямых, зависящее от четырех вещественных параметров. Евклидово 4-мерное пространство также естественно реализуется как нек-рое подмножество прямых в твисторном пространстве, в результате чего на языке Т. удобно говорить о переходе от лоренцовых теорий к евклидовым. На языке прямых инвариантный геометрич. смысл имеет конформная структура на пространстве Минковского: точки находятся на нулевом расстоянии (их соединяет световой луч) тогда и только тогда, когда соответствующие им прямые в твисторном пространстве пересекаются. Фундаментальная идея Р. Пенроуза заключается в том, что первичной физич. структурой является не структура 4-мерного пространства-времени, но твисторное (комплексное) пространство $T$. Соответственно твисторные эквиваленты физич. величин должны допускать более простое описание, чем сами эти величины. По этой идеологии нек-рые физич. уравнения имеют чисто аналитич. природу: объекты, первоначально заданные на Т., путем какого-либо варианта интегрирования по прямым переносятся на пространство $M$. При интегральном преобразовании аналитич. объектов от трех переменных в аналитич. объекты от четырех должно возникнуть одно уравнение на образ преобразования. Такую интерпретацию должны допускать нек-рые физич. уравнения. В качестве первого пункта реализации своей твисторной программы Р. Пенроуз рассмотрел безмассовые уравнения (в зависимости от спина это или волновое уравнение, или система Максвелла, или уравнение Дирака - Вейля, или линеаризованное уравнение Эйнштейна и т. д.). Безмассовым полям на твисторном пространстве отвечают решения нек-рых обобщений системы Коши - Римана ( $\bar{\partial}$-когомологии). Хотя этот объект и не является элементарным, для его изучения имеется развитый аппарат в комплексном анализе и возникает поучительный и нетривиальный пример применения комплексного анализа к изучению вещественных дифференциальных уравнений. Эти результаты носят скорее характер иллюстрации общей идеи Р. Пенроуза, поскольку они не выходят за пределы новых представлений решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако Т. оказались полезны и при изучении нелинейных физич. уравнений. Так, язык Т. был применен к построению инстантонов - автодуальных решений уравнения Янга - Миллса. Инстантоны (решения уравнения дуальности) рассматриваются на евклидовом пространстве, на твисторном многообразии им отвечают комплексные векторные расслоения. Эта связь позволила в конечном счете дать описание инстантонов (теорема Атьи - Хитчина - Дринфельда - Манина). Язык Т. оказался удобным также для изучения другого класса решений уравнения Янга - Миллса - монополей (решений уравнения Богомольного). Еще одно направление применения Т. связано с рассмотрением искривленного пространства-времени. В то время как плоское пространство-время интерпретируется как многообразие прямых, естественно ожидать, что какие-то его искривленные версии могут быть реализованы как нек-рые многообразия кривых на 3-мерных комплексных многообразиях. Р. Пенроуз показал, что 4-мерные многообразия с римановой метрикой, удовлетворяющей вакуумному уравнению Эйнштейна и дополнительному (конформному) условию автодуальности, канонически реализуются как многообразия кривых на искривленном твисторном 3-мерном многообразии. Условие автодуальности состоит в том, что автодуальная часть тензора Вейля равна нулю. (Р. Пенроуз явно описал геометрич. структуры на $T_{0}$, не пересекающих $l_{\infty}$.) Прямые, лежащие в областях $T_{ \pm}$, соответственно образуют на $\mathbb{C} M$ трубы будущего (прошлого), а $\bar{M}$ является общей частью их границ. Чтобы вложить в $\mathbb{C} M$ евклидово компактифицированное (конформно) 4-мерное пространство - сферу $S^{4}$,- рассматривают в $T$ множество прямых, соединяющих точки вида $\left(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$ и $\left(-\bar{z}_{1}, \bar{z}_{0},-\bar{z}_{3}, \bar{z}_{2}\right)$. Такие прямые не пересекаются или совпадают. Таким образом, возникает разбиение (расслоение) $T=\mathbb{C} P^{3}$ на пересекающиеся прямые. Легко прослеживается действие групп на все определенные геометрич. объекты. На многообразие прямых $\mathbb{C} M$ переносится действие группы $S L(4, \mathbb{C})$ проективных преобразований пространства $T=\mathbb{C} P^{3}$. Они являются автоморфизмами конформной структуры, определенной на $\mathbb{C M}$. Подгруппа $S U(2,2)$ проективных преобразований, сохраняющих квадрику $T_{0}$, индуцирует группу конформных преобразований пространства Минковского. Подгруппа в $S U(2,2)$, сохраняющая прямую $l_{\infty}$, порождает группу Пуанкаре движений пространства Минковского $M$. Если рассмотреть в $S U(2,2)$ подгруппу, сохраняющую не только прямую $l_{\infty}$, но и еще одну прямую $l_{0}$, не пересекающую $l_{\infty}$ и лежащую на $T_{0}$ (напр., $z_{0}=-z_{2}, z_{1}=-z_{3}$ ), то на $M$ получается классич. представление группы Лоренца. Если в $\mathbb{C} P^{3}$ вместо 4-параметрич. семейства прямых рассмотреть 8-параметрич. семейство кривых 2-го порядка, то в нем можно описать подсемейства, зависящие от четырех вещественных параметров, на к-рых реализуются автодуальные решения уравнения Эйнштейна и для этих метрик можно дать явные выражения. Р. Пенроуз явно описал геометрич. структуры на искривленном твисторном многообразии, эквивалентные автодуальным решениям уравнения Эйнштейна (право-плоским метрикам). Основной момент состоит в том, что семейство кривых в окрестности каждой кривой эквивалентно семейству прямых с точностью до малых 3-го порядка малости. Твисторное описание позволило построить большое число явных (автодуальных) решений уравнения Эйнштейна. Пусть $T=\mathbb{C} P^{3}-3$-мерное комплексное проективное пространство с однородными координатами $z=\left(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$, то есть $z \neq(0,0,0,0)$ и координаты $z=\left(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$ и $\lambda z=$ $=\left(\lambda z_{0}, \lambda z_{1}, \lambda z_{2}, \lambda z_{3}\right)$ отвечают одной и той же точке пространства $T$. Прямые $l$ в $T$ можно задавать парой их точек $(z, w), z \neq \lambda w$; их множество $\mathbb{C} M$ зависит от четырех комплексных параметров. На $\mathbb{C} M$ возникает комплексная конформная структура из условия, что прямые, пересекающие прямую $l$, находятся от нее на нулевом расстоянии (образуют комплексный световой конус $\mathbb{C} V(l)$ с вершиной в $l$. Пусть $T_{0}-$ вещественная гиперповерхность (эрмитова квадрика) в $T$, задаваемая уравнением: \[ H(z)=\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}-\left|z_{3}\right|^{2}=0 . \] Она делит $T$ на две области $T_{ \pm}$, где форма $H$ соответственно положительна (отрицательна). Тогда множество $\bar{M}$ прямых, целиком лежащих на $T_{0}$, зависит от четырех вещественных параметров и относительно указанной конформной структуры является конформной компактификацией пространства Минковского. Для $l \in \bar{M}$ конусы $V(l)=$ $=\bar{M} \cap \mathbb{C} V(l)$ прямых из $\bar{M}$, пересекающих $l$, являются световыми конусами. Чтобы получить обычное пространство Минковского $M$, надо фиксировать нек-рую прямую $l_{\infty}$ на $T_{0}$ (напр., задаваемую уравнениями $z_{0}=\mathrm{z}_{2}, z_{1}=z_{3}$ ) и выбросить $V\left(l_{\infty}\right)$ из $\bar{M}$ (то есть $M$ состоит из прямых на $T_{0}$, не пересекающих $l_{\infty}$ ). Теория Т. не только позволила применить новый математич. аппарат к различным задачам теоретич. и математич. физики, но и имела серьезное обратное влияние на математику, прежде всего в 4-мерной топологии.

точка трехмерного комплексного проективного пространства $T$, которое используется для реализации пространства Минковского $M$ в виде некоторого многообразия комплексных прямых в нем. Теория Т. предложена Р. Пенроузом (R. Penrose) в конце 60-х гг.; достаточно неожиданным в его твисторной программе (см. [1]) явилось привлечение комплексной геометрии для работы с вещественным пространством-временем. Множество $\mathbb{C} M$ всех прямых зависит от четырех комплексных параметров и в $T$ интерпретируется как комплексифицированное и (конформно) компактифицированное пространство Минковского. Оно представляет самостоятельный интерес в связи с аналитич. продолжением тех или иных физич. величин, первоначально заданных на пространстве Минковского, в комплексную область (напр., в трубу будущего). При этом точкам (компактифицированного) пространства Минковского отвечает нек-рое подмножество прямых, зависящее от четырех вещественных параметров. Евклидово 4-мерное пространство также естественно реализуется как нек-рое подмножество прямых в твисторном пространстве, в результате чего на языке Т. удобно говорить о переходе от лоренцовых теорий к евклидовым. На языке прямых инвариантный геометрич. смысл имеет конформная структура на пространстве Минковского: точки находятся на нулевом расстоянии (их соединяет световой луч) тогда и только тогда, когда соответствующие им прямые в твисторном пространстве пересекаются. Фундаментальная идея Р. Пенроуза заключается в том, что первичной физич. структурой является не структура 4-мерного пространства-времени, но твисторное (комплексное) пространство $T$. Соответственно твисторные эквиваленты физич. величин должны допускать более простое описание, чем сами эти величины. По этой идеологии нек-рые физич. уравнения имеют чисто аналитич. природу: объекты, первоначально заданные на Т., путем какого-либо варианта интегрирования по прямым переносятся на пространство $M$. При интегральном преобразовании аналитич. объектов от трех переменных в аналитич. объекты от четырех должно возникнуть одно уравнение на образ преобразования. Такую интерпретацию должны допускать нек-рые физич. уравнения. В качестве первого пункта реализации своей твисторной программы Р. Пенроуз рассмотрел безмассовые уравнения (в зависимости от спина это или волновое уравнение, или система Максвелла, или уравнение Дирака - Вейля, или линеаризованное уравнение Эйнштейна и т. д.). Безмассовым полям на твисторном пространстве отвечают решения нек-рых обобщений системы Коши - Римана ( $\bar{\partial}$-когомологии). Хотя этот объект и не является элементарным, для его изучения имеется развитый аппарат в комплексном анализе и возникает поучительный и нетривиальный пример применения комплексного анализа к изучению вещественных дифференциальных уравнений. Эти результаты носят скорее характер иллюстрации общей идеи Р. Пенроуза, поскольку они не выходят за пределы новых представлений решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако Т. оказались полезны и при изучении нелинейных физич. уравнений. Так, язык Т. был применен к построению инстантонов - автодуальных решений уравнения Янга - Миллса. Инстантоны (решения уравнения дуальности) рассматриваются на евклидовом пространстве, на твисторном многообразии им отвечают комплексные векторные расслоения. Эта связь позволила в конечном счете дать описание инстантонов (теорема Атьи - Хитчина - Дринфельда - Манина). Язык Т. оказался удобным также для изучения другого класса решений уравнения Янга - Миллса - монополей (решений уравнения Богомольного). Еще одно направление применения Т. связано с рассмотрением искривленного пространства-времени. В то время как плоское пространство-время интерпретируется как многообразие прямых, естественно ожидать, что какие-то его искривленные версии могут быть реализованы как нек-рые многообразия кривых на 3-мерных комплексных многообразиях. Р. Пенроуз показал, что 4-мерные многообразия с римановой метрикой, удовлетворяющей вакуумному уравнению Эйнштейна и дополнительному (конформному) условию автодуальности, канонически реализуются как многообразия кривых на искривленном твисторном 3-мерном многообразии. Условие автодуальности состоит в том, что автодуальная часть тензора Вейля равна нулю. (Р. Пенроуз явно описал геометрич. структуры на $T_{0}$, не пересекающих $l_{\infty}$.) Прямые, лежащие в областях $T_{ \pm}$, соответственно образуют на $\mathbb{C} M$ трубы будущего (прошлого), а $\bar{M}$ является общей частью их границ. Чтобы вложить в $\mathbb{C} M$ евклидово компактифицированное (конформно) 4-мерное пространство - сферу $S^{4}$,- рассматривают в $T$ множество прямых, соединяющих точки вида $\left(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$ и $\left(-\bar{z}_{1}, \bar{z}_{0},-\bar{z}_{3}, \bar{z}_{2}\right)$. Такие прямые не пересекаются или совпадают. Таким образом, возникает разбиение (расслоение) $T=\mathbb{C} P^{3}$ на пересекающиеся прямые. Легко прослеживается действие групп на все определенные геометрич. объекты. На многообразие прямых $\mathbb{C} M$ переносится действие группы $S L(4, \mathbb{C})$ проективных преобразований пространства $T=\mathbb{C} P^{3}$. Они являются автоморфизмами конформной структуры, определенной на $\mathbb{C M}$. Подгруппа $S U(2,2)$ проективных преобразований, сохраняющих квадрику $T_{0}$, индуцирует группу конформных преобразований пространства Минковского. Подгруппа в $S U(2,2)$, сохраняющая прямую $l_{\infty}$, порождает группу Пуанкаре движений пространства Минковского $M$. Если рассмотреть в $S U(2,2)$ подгруппу, сохраняющую не только прямую $l_{\infty}$, но и еще одну прямую $l_{0}$, не пересекающую $l_{\infty}$ и лежащую на $T_{0}$ (напр., $z_{0}=-z_{2}, z_{1}=-z_{3}$ ), то на $M$ получается классич. представление группы Лоренца. Если в $\mathbb{C} P^{3}$ вместо 4-параметрич. семейства прямых рассмотреть 8-параметрич. семейство кривых 2-го порядка, то в нем можно описать подсемейства, зависящие от четырех вещественных параметров, на к-рых реализуются автодуальные решения уравнения Эйнштейна и для этих метрик можно дать явные выражения. Р. Пенроуз явно описал геометрич. структуры на искривленном твисторном многообразии, эквивалентные автодуальным решениям уравнения Эйнштейна (право-плоским метрикам). Основной момент состоит в том, что семейство кривых в окрестности каждой кривой эквивалентно семейству прямых с точностью до малых 3-го порядка малости. Твисторное описание позволило построить большое число явных (автодуальных) решений уравнения Эйнштейна. Пусть $T=\mathbb{C} P^{3}-3$-мерное комплексное проективное пространство с однородными координатами $z=\left(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$, то есть $z \neq(0,0,0,0)$ и координаты $z=\left(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$ и $\lambda z=$ $=\left(\lambda z_{0}, \lambda z_{1}, \lambda z_{2}, \lambda z_{3}\right)$ отвечают одной и той же точке пространства $T$. Прямые $l$ в $T$ можно задавать парой их точек $(z, w), z \neq \lambda w$; их множество $\mathbb{C} M$ зависит от четырех комплексных параметров. На $\mathbb{C} M$ возникает комплексная конформная структура из условия, что прямые, пересекающие прямую $l$, находятся от нее на нулевом расстоянии (образуют комплексный световой конус $\mathbb{C} V(l)$ с вершиной в $l$. Пусть $T_{0}-$ вещественная гиперповерхность (эрмитова квадрика) в $T$, задаваемая уравнением: \[ H(z)=\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}-\left|z_{3}\right|^{2}=0 . \] Она делит $T$ на две области $T_{ \pm}$, где форма $H$ соответственно положительна (отрицательна). Тогда множество $\bar{M}$ прямых, целиком лежащих на $T_{0}$, зависит от четырех вещественных параметров и относительно указанной конформной структуры является конформной компактификацией пространства Минковского. Для $l \in \bar{M}$ конусы $V(l)=$ $=\bar{M} \cap \mathbb{C} V(l)$ прямых из $\bar{M}$, пересекающих $l$, являются световыми конусами. Чтобы получить обычное пространство Минковского $M$, надо фиксировать нек-рую прямую $l_{\infty}$ на $T_{0}$ (напр., задаваемую уравнениями $z_{0}=\mathrm{z}_{2}, z_{1}=z_{3}$ ) и выбросить $V\left(l_{\infty}\right)$ из $\bar{M}$ (то есть $M$ состоит из прямых на $T_{0}$, не пересекающих $l_{\infty}$ ). Теория Т. не только позволила применить новый математич. аппарат к различным задачам теоретич. и математич. физики, но и имела серьезное обратное влияние на математику, прежде всего в 4-мерной топологии.