ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ

дифференциальное уравнение с частными производными \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}+(\alpha+\beta) \frac{\partial u}{\partial t}+\alpha \beta u=0 . \] Этому уравнению удовлетворяет напряжение тока в проводе, рассматриваемое как функция времени $t$ и расстояния $s$ от нек-рой фиксированной точки провода. Здесь $c$ - скорость света, $\alpha$ - емкостный, $\beta-$ индуктивный коэффициенты. Преобразованием \[ e^{1 / 2(\alpha+\beta) t} u(s, t)=v(x, y), x=s+c t, y=s-c t, \] уравнение (1) приводится к виду \[ v_{x y}+\lambda v=0, \quad \lambda=\left(\frac{\alpha-\beta}{4 c}\right)^{2} \] Это уравнение принадлежит к классу гиперболич. уравнений 2-го порядка \[ v_{x y}+a v_{x}+b v_{y}+c v=f \] в теории к-рых важную роль играет функция Римана $R(x, y ; \xi, \eta)$. Для уравнения (2) эта функция выписывается в явном виде: \[ R(x, y ; \xi, \eta)=J_{0}(\sqrt{4 \lambda(x-\xi)(y-\eta)}) \] где $J_{0}(z)$ - функция Бесселя.

дифференциальное уравнение с частными производными \[ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial s^{2}}+(\alpha+\beta) \frac{\partial u}{\partial t}+\alpha \beta u=0 . \] Этому уравнению удовлетворяет напряжение тока в проводе, рассматриваемое как функция времени $t$ и расстояния $s$ от нек-рой фиксированной точки провода. Здесь $c$ - скорость света, $\alpha$ - емкостный, $\beta-$ индуктивный коэффициенты. Преобразованием \[ e^{1 / 2(\alpha+\beta) t} u(s, t)=v(x, y), x=s+c t, y=s-c t, \] уравнение (1) приводится к виду \[ v_{x y}+\lambda v=0, \quad \lambda=\left(\frac{\alpha-\beta}{4 c}\right)^{2} \] Это уравнение принадлежит к классу гиперболич. уравнений 2-го порядка \[ v_{x y}+a v_{x}+b v_{y}+c v=f \] в теории к-рых важную роль играет функция Римана $R(x, y ; \xi, \eta)$. Для уравнения (2) эта функция выписывается в явном виде: \[ R(x, y ; \xi, \eta)=J_{0}(\sqrt{4 \lambda(x-\xi)(y-\eta)}) \] где $J_{0}(z)$ - функция Бесселя.