ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ НА МНОГООБРАЗИИ $M^{n}$

функция на $M^{n}$, которая каждой точке многообразия ставит в соответствие тензор одного и того же строения. Т. п. называется гладким, если в каждой карте (согласованной с гладкой структурой многообразия $M^{n}$ ) координаты тензора являются гладкими функциями точки. Более подробно это означает следующее. Говорят, что на многообразии $M^{n}$ задано гладкое Т. п. $k$ раз контравариантное и $m$ раз ковариантное [поле типа $(k, m)$ ], если в каждой карте, отвечающей данной гладкой структуре, задана система гладких функций, занумерованная $k$ индексами вверху в определенном порядке и $m$ индексами внизу: \[ \begin{gathered} a_{j_{1} \ldots j_{m}}^{i_{1} \ldots i_{k}}, \\ i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k}, j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{m}=1,2, \ldots, n \end{gathered} \] (то есть задано $n^{k+m}$ функций в каждой системе координат, где $n=\operatorname{dim} M^{n}$ ), преобразующихся при переходе от карты к карте по следующему закону (тензорный закон преобразования): \[ a_{j_{1}^{\prime} \ldots j_{m}^{\prime}}^{i_{1}^{\prime} \ldots i_{k}^{\prime}}=\frac{\partial x^{i_{1}^{\prime}}}{\partial x^{i_{1}}} \ldots \frac{\partial x^{i_{k}^{\prime}}}{\partial x^{i_{k}}} \frac{\partial x^{j_{1}}}{\partial x^{j_{1}^{\prime}}} \ldots \frac{\partial x^{j_{m}}}{\partial x^{j_{m}^{\prime}}} a_{j_{1} \ldots j_{m}}^{i_{1} \ldots i_{k}} . \] Число $k+m$ называется рангом, или валентностью, тензора. Т. п. нулевой валентности (без индексов), по определению, является скалярным полем или гладкой функцией на $M^{n}$.

функция на $M^{n}$, которая каждой точке многообразия ставит в соответствие тензор одного и того же строения. Т. п. называется гладким, если в каждой карте (согласованной с гладкой структурой многообразия $M^{n}$ ) координаты тензора являются гладкими функциями точки. Более подробно это означает следующее. Говорят, что на многообразии $M^{n}$ задано гладкое Т. п. $k$ раз контравариантное и $m$ раз ковариантное [поле типа $(k, m)$ ], если в каждой карте, отвечающей данной гладкой структуре, задана система гладких функций, занумерованная $k$ индексами вверху в определенном порядке и $m$ индексами внизу: \[ \begin{gathered} a_{j_{1} \ldots j_{m}}^{i_{1} \ldots i_{k}}, \\ i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{k}, j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{m}=1,2, \ldots, n \end{gathered} \] (то есть задано $n^{k+m}$ функций в каждой системе координат, где $n=\operatorname{dim} M^{n}$ ), преобразующихся при переходе от карты к карте по следующему закону (тензорный закон преобразования): \[ a_{j_{1}^{\prime} \ldots j_{m}^{\prime}}^{i_{1}^{\prime} \ldots i_{k}^{\prime}}=\frac{\partial x^{i_{1}^{\prime}}}{\partial x^{i_{1}}} \ldots \frac{\partial x^{i_{k}^{\prime}}}{\partial x^{i_{k}}} \frac{\partial x^{j_{1}}}{\partial x^{j_{1}^{\prime}}} \ldots \frac{\partial x^{j_{m}}}{\partial x^{j_{m}^{\prime}}} a_{j_{1} \ldots j_{m}}^{i_{1} \ldots i_{k}} . \] Число $k+m$ называется рангом, или валентностью, тензора. Т. п. нулевой валентности (без индексов), по определению, является скалярным полем или гладкой функцией на $M^{n}$.