ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ УРАВНЕНИЕ

уравнение, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твердом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности. Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объема среды с учетом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объема вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид: \[ \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho c_{V} T\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\lambda \frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\lambda \frac{\partial T}{\partial z}\right)+F, \] где $\rho$ - плотность среды, $c_{V}-$ теплоемкость среды при постоянном объеме $V, t-$ время, $x, y, z-$ координаты, $T=T(x, y, z)$ - температура, к-рая вычисляется при помощи Т. у., $\lambda$ - коэффициент теплопроводности, $F=F(x, y, z)$ заданная плотность тепловых источников. Величины $\rho, c_{V}$, $\lambda$ зависят от координат и, вообще говоря, от $T$. В случае изотропной однородной среды Т.у. принимает вид: \[ \frac{\partial T}{\partial t}=a^{2} \Delta T+f \] где $\Delta$ - оператор Лапласа, $a^{2}=\lambda / \rho c_{V}-$ коэффициент температуропроводности, $f=F / \rho c_{V}$. В стационарном состоянии, когда $T$ не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнение: \[ -\Delta T=-f / a^{2} \] а в отсутствие источников теплоты - в Лапласа уравнение \[ \Delta T=0 \text {. } \] Процессы диффузии также описываются уравнениями типа T. у.

уравнение, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твердом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности. Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объема среды с учетом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объема вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид: \[ \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho c_{V} T\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\lambda \frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\lambda \frac{\partial T}{\partial z}\right)+F, \] где $\rho$ - плотность среды, $c_{V}-$ теплоемкость среды при постоянном объеме $V, t-$ время, $x, y, z-$ координаты, $T=T(x, y, z)$ - температура, к-рая вычисляется при помощи Т. у., $\lambda$ - коэффициент теплопроводности, $F=F(x, y, z)$ заданная плотность тепловых источников. Величины $\rho, c_{V}$, $\lambda$ зависят от координат и, вообще говоря, от $T$. В случае изотропной однородной среды Т.у. принимает вид: \[ \frac{\partial T}{\partial t}=a^{2} \Delta T+f \] где $\Delta$ - оператор Лапласа, $a^{2}=\lambda / \rho c_{V}-$ коэффициент температуропроводности, $f=F / \rho c_{V}$. В стационарном состоянии, когда $T$ не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнение: \[ -\Delta T=-f / a^{2} \] а в отсутствие источников теплоты - в Лапласа уравнение \[ \Delta T=0 \text {. } \] Процессы диффузии также описываются уравнениями типа T. у.