ТЕТА-РЯД, $\theta$-РЯД

функциональный ряд, применяемый для представления автоморфных форм и автоморфных функций. Пусть $D-$ область комплексного пространства $\mathbb{C}^{p}, p \geqslant 1$; $\Gamma$ - дискретная группа автоморфизмов области $D$. Если группа $\Gamma$ конечна, то из любой мероморфной в $D$ функции $H(z), z=\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$, можно получить автоморфную функцию \[ \sum_{\gamma \in \Gamma} H(\gamma(z)) \] Для бесконечных групп необходимы множители сходимости, что и приводит к Т.-р. Тета-рядом Пуанкаре, или просто рядом Пуанкаре, ассоциированным с группой $\Gamma$, называется ряд вида \[ \theta_{m}(z)=\sum_{\gamma \in \Gamma}^{*} J_{\gamma}^{m}(z) H(\gamma(z)), \] где $J_{\gamma}(z)=d \gamma(z) / d z-$ якобиан отображения $z \rightarrow \gamma(z), m-$ целое действительное число, называемое весом или порядком; звездочка означает, что суммирование выполняется только по тем $\gamma \in \Gamma$, к-рые доставляют различные члены ряда. При отображении $z \rightarrow \alpha(z), \alpha \in \Gamma$, функция $\theta_{m}(z)$ преобразуется по закону \[ \theta_{m}(\alpha(z))=J_{\alpha}^{-m}(z) \theta_{m}(z) \] и, следовательно, представляет собой автоморфную функцию веса $m$, ассоциированную с группой $\Gamma$. Отношение двух Т.-р. одинакового веса дает автоморфную функцию. Т.-р. частного вида \[ E_{m}(z)=\sum_{\gamma \in \Gamma}^{*} J_{\gamma}^{m}(z) \] называются тета-рядами Эйзенштейна или просто рядами Эйзенштейна, ассоциированными с группой Г. Название «тета-ряды» употребляется и применительно к разложениям в ряды тета-функций, служащих для представления эллиптич. функций (см. Якоби эллиптические функции) и абелевых функций.

функциональный ряд, применяемый для представления автоморфных форм и автоморфных функций. Пусть $D-$ область комплексного пространства $\mathbb{C}^{p}, p \geqslant 1$; $\Gamma$ - дискретная группа автоморфизмов области $D$. Если группа $\Gamma$ конечна, то из любой мероморфной в $D$ функции $H(z), z=\left(z_{1}, \ldots, z_{p}\right)$, можно получить автоморфную функцию \[ \sum_{\gamma \in \Gamma} H(\gamma(z)) \] Для бесконечных групп необходимы множители сходимости, что и приводит к Т.-р. Тета-рядом Пуанкаре, или просто рядом Пуанкаре, ассоциированным с группой $\Gamma$, называется ряд вида \[ \theta_{m}(z)=\sum_{\gamma \in \Gamma}^{*} J_{\gamma}^{m}(z) H(\gamma(z)), \] где $J_{\gamma}(z)=d \gamma(z) / d z-$ якобиан отображения $z \rightarrow \gamma(z), m-$ целое действительное число, называемое весом или порядком; звездочка означает, что суммирование выполняется только по тем $\gamma \in \Gamma$, к-рые доставляют различные члены ряда. При отображении $z \rightarrow \alpha(z), \alpha \in \Gamma$, функция $\theta_{m}(z)$ преобразуется по закону \[ \theta_{m}(\alpha(z))=J_{\alpha}^{-m}(z) \theta_{m}(z) \] и, следовательно, представляет собой автоморфную функцию веса $m$, ассоциированную с группой $\Gamma$. Отношение двух Т.-р. одинакового веса дает автоморфную функцию. Т.-р. частного вида \[ E_{m}(z)=\sum_{\gamma \in \Gamma}^{*} J_{\gamma}^{m}(z) \] называются тета-рядами Эйзенштейна или просто рядами Эйзенштейна, ассоциированными с группой Г. Название «тета-ряды» употребляется и применительно к разложениям в ряды тета-функций, служащих для представления эллиптич. функций (см. Якоби эллиптические функции) и абелевых функций.