ТОКОВ АЛГЕБРА

система перестановочных соотношений между компонентами различных локальных токов в один и тот же момент времени. В частности, для временных компонент $S U(3)$-октетов токов эта алгебра замкнута (то есть коммутатор токов выражается через сами токи): \[ \left.\begin{array}{c} {\left[j_{0 \pm}^{k}(x), j_{0 \pm}^{l}\left(x^{\prime}\right)\right]_{x_{0} \neq x_{0}^{\prime}}=i \delta\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right) f^{k l m} j_{0}^{m}(x),} \\ {\left[j_{0 \pm}^{k}(x), j_{0 \pm}^{l}\left(x^{\prime}\right)\right]_{x_{0}=x_{0}^{\prime}}=0,} \end{array}\right\} \] где $\delta\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right)$ - дельта-функция Дирака, $f^{k l m}-$ так наз. структурные константы группы $S U(3), \quad \lambda^{k} \lambda^{l}-\lambda^{l} \lambda^{k}=$ $=2 i f{ }^{k l m} \lambda^{m}, \lambda^{k}-$ матрицы Гелл-Мана, действующие в пространстве $u$-, $d$-, $s$-кварков, $k, l, m=1,2, \ldots, 8$, а значки \pm означают «плюс» и «минус» компоненты векторных $\left(V_{\mu}\right)$ и аксиальных $\left(A_{\mu}\right)$ токов: $V_{\mu} \pm A_{\mu}, \mu=0,1,2,3$ (используется система единиц $\hbar=c=1$ ). В пределе нулевой массы $\pi$-мезона токи $j_{0 \pm}^{k}(x)$ являются плотностями сохраняющихся зарядов и Т. а. описывает киральную симметрию. Аналогичные соотношения для пространственных компонент токов содержат в правой части производные от дельта-функции - так наз. швингеровские члены. Перестановочные соотношения (1) имеют такой же вид, как и для токов, составленных из полей свободных кварков. В квантовой хромодинамике это объясняется свойством асимптотической свободы: на малых расстояниях эффективная константа связи мала и сильным взаимодействием можно пренебречь. Т. а. сформулирована как эвристич. утверждение М. Гелл-Манном (M. Gell-Mann) в начале 1960-х гг. до появления современных кварковых теорий (квантовой хромодинамики, теории электрослабых взаимодействий). Она дала возможность получить ряд соотношений, допускающих непосредственное сравнение с опытом. Эти соотношения носят характер правил сумм (то есть предсказаний для интегралов от наблюдаемых сечений) или низкоэнергетических теорем, то есть предсказаний для амплитуд процессов в пределе нулевых 4-импульсов одной или нескольких частиц. Используя дисперсионные соотношения (см. Диспер- сионных соотношений метод), значение амплитуды при нулевых 4-импульсах иногда (напр., для $\pi \mathrm{N}$-рассеяния) удается переписать в виде интеграла от сечений, так что одно и то же предсказание может фигурировать и как правило сумм, и как низкоэнергетич. теорема. Одно из наиболее известных следствий Т. а. - соотношение Адлера-Вайсбергера, сформулированное в 1965 С. Адлером и У. Вайсбергером [1], для так наз. аксиальной константы $\beta$-распада нуклона $g_{A}$, определяющей матричный элемент аксиального тока для перехода $n \leftrightarrow p$ (экспериментальное значение $g_{\mathrm{A}} \approx 1,2$ ): \[ \frac{1}{g_{\mathrm{A}}^{2}}=1+\frac{2 m_{\mathrm{N}}^{2}}{\pi g_{\pi \mathrm{N}}^{2}} \int_{m_{\pi}}^{\infty} \frac{q d v}{v^{2}}\left[\sigma_{\pi-\mathrm{p}}(v)-\sigma_{\pi+\mathrm{p}}(v)\right] . \] Здесь $m_{\mathrm{N}}-$ масса нуклона, $g_{\pi \mathrm{N}}-$ константа связи $\pi$-мезона с нуклоном $\left(g_{\pi \mathrm{N}}^{2} \approx 14,6\right), \sigma_{\pi \pm \mathrm{p}}-$ полное сечение взаимодействия $\pi^{ \pm}$-мезонов с протоном, $m_{\pi}$ - масса $\pi$-мезона, $~ \boldsymbol{~ и ~} q-$ его энергия и величина импульса в лабораторной системе. Правило сумм (2) может быть представлено в виде низкоэнергетич. теоремы - предсказания для разности длин рассеяния $\pi^{+}-$и $\pi^{-}$-мезонов на нуклоне. Соотношение (2) хорошо (в пределах 10\%) согласуется с опытом. Остающееся расхождение связано не с нарушением перестановочных соотношений (1), а с тем, что при выводе (2) приходится 4-импульса $\pi$-мезона является нефизической. Сочетание Т. а. с гипотезой частичного сохранения аксиального тока, учитывающей конечную массу $\pi$-мезона, оказалось особенно плодотворным для слабых и электромагнитных процессов (поскольку многие распады частиц связаны с испусканием $\pi$-мезонов). В общем виде амплитуда испускания $\pi$-мезона с 4-импульсом $q \rightarrow 0$ сводится к матричному элементу одновременного коммутатора гамильтониана взаимодействия $H(0) \equiv H\left(x_{0}=0, x=0\right)$ с аксиальным током: \[ \begin{gathered} \left\langle\mathrm{B} \pi^{\alpha}|H(0)| \mathrm{A}\right\rangle_{q \rightarrow 0} \rightarrow \\ \rightarrow i f_{\pi}^{-1}\left\langle\mathrm{~B}\left|\left[H(0), \int A_{0}^{\alpha}(x) d^{3} x\right]_{x_{0}=0}\right| \mathrm{A}\right\rangle, \end{gathered} \] где $\pi^{\alpha}$ - пионное состояние, $\alpha=1,2,3$ - изотопич. индекс, А, В - адронные состояния, $f_{\pi}-$ константа $\pi \rightarrow \mu \nu_{\mu}$-распада ( $f_{\pi} \approx 93$ МэВ). Гамильтониан слабого и электромагнитного взаимодействия $H(0)$ строится из токов $V_{\mu}$ и $A_{\mu}$, так что Т. а. позволяет найти одновременной коммутатор в правой части соотношения (3). В результате возникают соотношения между амплитудами процессов с разным числом $\pi$-мезонов, напр.: \[ \begin{gathered} A\left(\mathrm{~K}_{S}^{0} \rightarrow \pi^{+} \pi^{-}\right)=\sqrt{2} f_{\pi} A\left(\mathrm{~K}_{L}^{0} \rightarrow \pi^{+} \pi^{-} \pi^{0}\right), \\ q\left(\pi^{0}\right)=0, \end{gathered} \] где $A\left(\mathrm{~K}_{S}^{0} \rightarrow 2 \pi\right), A\left(\mathrm{~K}_{L}^{0} \rightarrow 3 \pi\right)$ - амплитуды соответствующих слабых нелептонных распадов нейтральных короткоживущих $\left(\mathrm{K}_{S}^{0}\right)$ и долгоживущих $\left(\mathrm{K}_{L}^{0}\right) \mathrm{K}$-мезонов; значение амплитуды при $q\left(\pi^{0}\right)=0$ получают экстраполяцией экспериментальных данных из физич. области. Сравнение этого и других подобных соотношений с опытом позволило проверить правильность как самой Т. а. (1), так и различных предположений о структуре слабого взаимодействия. Т. а. и после создания современных кварковых теорий остается наиболее надежным способом описания взаимодействия адронов при низких энергиях, исходя непосредственно из вида лагранжиана квантовой хромодинамики (в тех случаях, когда применение Т. а. возможно).

система перестановочных соотношений между компонентами различных локальных токов в один и тот же момент времени. В частности, для временных компонент $S U(3)$-октетов токов эта алгебра замкнута (то есть коммутатор токов выражается через сами токи): \[ \left.\begin{array}{c} {\left[j_{0 \pm}^{k}(x), j_{0 \pm}^{l}\left(x^{\prime}\right)\right]_{x_{0} \neq x_{0}^{\prime}}=i \delta\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right) f^{k l m} j_{0}^{m}(x),} \\ {\left[j_{0 \pm}^{k}(x), j_{0 \pm}^{l}\left(x^{\prime}\right)\right]_{x_{0}=x_{0}^{\prime}}=0,} \end{array}\right\} \] где $\delta\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right)$ - дельта-функция Дирака, $f^{k l m}-$ так наз. структурные константы группы $S U(3), \quad \lambda^{k} \lambda^{l}-\lambda^{l} \lambda^{k}=$ $=2 i f{ }^{k l m} \lambda^{m}, \lambda^{k}-$ матрицы Гелл-Мана, действующие в пространстве $u$-, $d$-, $s$-кварков, $k, l, m=1,2, \ldots, 8$, а значки \pm означают «плюс» и «минус» компоненты векторных $\left(V_{\mu}\right)$ и аксиальных $\left(A_{\mu}\right)$ токов: $V_{\mu} \pm A_{\mu}, \mu=0,1,2,3$ (используется система единиц $\hbar=c=1$ ). В пределе нулевой массы $\pi$-мезона токи $j_{0 \pm}^{k}(x)$ являются плотностями сохраняющихся зарядов и Т. а. описывает киральную симметрию. Аналогичные соотношения для пространственных компонент токов содержат в правой части производные от дельта-функции - так наз. швингеровские члены. Перестановочные соотношения (1) имеют такой же вид, как и для токов, составленных из полей свободных кварков. В квантовой хромодинамике это объясняется свойством асимптотической свободы: на малых расстояниях эффективная константа связи мала и сильным взаимодействием можно пренебречь. Т. а. сформулирована как эвристич. утверждение М. Гелл-Манном (M. Gell-Mann) в начале 1960-х гг. до появления современных кварковых теорий (квантовой хромодинамики, теории электрослабых взаимодействий). Она дала возможность получить ряд соотношений, допускающих непосредственное сравнение с опытом. Эти соотношения носят характер правил сумм (то есть предсказаний для интегралов от наблюдаемых сечений) или низкоэнергетических теорем, то есть предсказаний для амплитуд процессов в пределе нулевых 4-импульсов одной или нескольких частиц. Используя дисперсионные соотношения (см. Диспер- сионных соотношений метод), значение амплитуды при нулевых 4-импульсах иногда (напр., для $\pi \mathrm{N}$-рассеяния) удается переписать в виде интеграла от сечений, так что одно и то же предсказание может фигурировать и как правило сумм, и как низкоэнергетич. теорема. Одно из наиболее известных следствий Т. а. - соотношение Адлера-Вайсбергера, сформулированное в 1965 С. Адлером и У. Вайсбергером [1], для так наз. аксиальной константы $\beta$-распада нуклона $g_{A}$, определяющей матричный элемент аксиального тока для перехода $n \leftrightarrow p$ (экспериментальное значение $g_{\mathrm{A}} \approx 1,2$ ): \[ \frac{1}{g_{\mathrm{A}}^{2}}=1+\frac{2 m_{\mathrm{N}}^{2}}{\pi g_{\pi \mathrm{N}}^{2}} \int_{m_{\pi}}^{\infty} \frac{q d v}{v^{2}}\left[\sigma_{\pi-\mathrm{p}}(v)-\sigma_{\pi+\mathrm{p}}(v)\right] . \] Здесь $m_{\mathrm{N}}-$ масса нуклона, $g_{\pi \mathrm{N}}-$ константа связи $\pi$-мезона с нуклоном $\left(g_{\pi \mathrm{N}}^{2} \approx 14,6\right), \sigma_{\pi \pm \mathrm{p}}-$ полное сечение взаимодействия $\pi^{ \pm}$-мезонов с протоном, $m_{\pi}$ - масса $\pi$-мезона, $~ \boldsymbol{~ и ~} q-$ его энергия и величина импульса в лабораторной системе. Правило сумм (2) может быть представлено в виде низкоэнергетич. теоремы - предсказания для разности длин рассеяния $\pi^{+}-$и $\pi^{-}$-мезонов на нуклоне. Соотношение (2) хорошо (в пределах 10\%) согласуется с опытом. Остающееся расхождение связано не с нарушением перестановочных соотношений (1), а с тем, что при выводе (2) приходится 4-импульса $\pi$-мезона является нефизической. Сочетание Т. а. с гипотезой частичного сохранения аксиального тока, учитывающей конечную массу $\pi$-мезона, оказалось особенно плодотворным для слабых и электромагнитных процессов (поскольку многие распады частиц связаны с испусканием $\pi$-мезонов). В общем виде амплитуда испускания $\pi$-мезона с 4-импульсом $q \rightarrow 0$ сводится к матричному элементу одновременного коммутатора гамильтониана взаимодействия $H(0) \equiv H\left(x_{0}=0, x=0\right)$ с аксиальным током: \[ \begin{gathered} \left\langle\mathrm{B} \pi^{\alpha}|H(0)| \mathrm{A}\right\rangle_{q \rightarrow 0} \rightarrow \\ \rightarrow i f_{\pi}^{-1}\left\langle\mathrm{~B}\left|\left[H(0), \int A_{0}^{\alpha}(x) d^{3} x\right]_{x_{0}=0}\right| \mathrm{A}\right\rangle, \end{gathered} \] где $\pi^{\alpha}$ - пионное состояние, $\alpha=1,2,3$ - изотопич. индекс, А, В - адронные состояния, $f_{\pi}-$ константа $\pi \rightarrow \mu \nu_{\mu}$-распада ( $f_{\pi} \approx 93$ МэВ). Гамильтониан слабого и электромагнитного взаимодействия $H(0)$ строится из токов $V_{\mu}$ и $A_{\mu}$, так что Т. а. позволяет найти одновременной коммутатор в правой части соотношения (3). В результате возникают соотношения между амплитудами процессов с разным числом $\pi$-мезонов, напр.: \[ \begin{gathered} A\left(\mathrm{~K}_{S}^{0} \rightarrow \pi^{+} \pi^{-}\right)=\sqrt{2} f_{\pi} A\left(\mathrm{~K}_{L}^{0} \rightarrow \pi^{+} \pi^{-} \pi^{0}\right), \\ q\left(\pi^{0}\right)=0, \end{gathered} \] где $A\left(\mathrm{~K}_{S}^{0} \rightarrow 2 \pi\right), A\left(\mathrm{~K}_{L}^{0} \rightarrow 3 \pi\right)$ - амплитуды соответствующих слабых нелептонных распадов нейтральных короткоживущих $\left(\mathrm{K}_{S}^{0}\right)$ и долгоживущих $\left(\mathrm{K}_{L}^{0}\right) \mathrm{K}$-мезонов; значение амплитуды при $q\left(\pi^{0}\right)=0$ получают экстраполяцией экспериментальных данных из физич. области. Сравнение этого и других подобных соотношений с опытом позволило проверить правильность как самой Т. а. (1), так и различных предположений о структуре слабого взаимодействия. Т. а. и после создания современных кварковых теорий остается наиболее надежным способом описания взаимодействия адронов при низких энергиях, исходя непосредственно из вида лагранжиана квантовой хромодинамики (в тех случаях, когда применение Т. а. возможно).