ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ГРУППА

Группа $G$, на которой введена структура топологического пространства так, что: 1) отображение $\pi: G \times G \rightarrow G$, заданное формулой $\pi\left(g_{1}, g_{2}\right)=g_{1} g_{2}$, непрерывно; 2) отображение $g \rightarrow g^{-1}$ из $G$ в себя также непрерывно. Т. г. $G$ называется компактной (соответственно, связной), если соответствующее пространство компактно (соответственно, связно). Т. г. локально компактна, если в ней существует открытая окрестность единицы, замыкание к-рой компактно. Т. г. называется дискретной, если все подмножества в $G$ открыты. Наиболее интересный пример Т. г.- Ли группы. Если говорят о подгруппе в Т. г., то обычно подразумевается замкнутая подгруппа. Топология групп Ли. У любой связной группы Ли существует единственная односвязная накрывающая группа Ли. Любая односвязная разрешимая группа Ли стягиваема. Любая группа Ли содержит максимальную компактную подгруппу (то есть не содержащуюся ни в какой другой компактной подгруппе). Если $\mathscr{K}_{1}$ и $\mathscr{K}_{2}-$ две максимальные компактные подгруппы, то они сопряжены, то есть существует $x \in G$ такой, что $x_{\mathcal{K}} x^{-1}=\mathscr{K}_{2}$. Любая группа Ли стягивается на свою максимальную компактную подгруппу. Максимальные компактные подгруппы классич. групп дает следующая таблица: \begin{tabular}{|c|c||c|c|} \hline Группа & $\begin{array}{c}\text { Ее максимальная } \\ \text { подгруппа }\end{array}$ & Группа & $\begin{array}{c}\text { Ее максимальная } \\ \text { подгруппа }\end{array}$ \\ \hline$S L(n, \mathbb{R})$ & $S O(n, \mathbb{R})$ & $S p(2 n, \mathbb{R})$ & $U(n)$ \\ $S L(n, \mathbb{C})$ & $S U(n)$ & $O(p, q)$ & $O(p) \times O(q)$ \\ $S L(n, \mathbb{H})$ & $S p(n)$ & $U(p, q)$ & $U(p) \times U(q)$ \\ $S O(n, \mathbb{C})$ & $S O(n, \mathbb{R})$ & $S p(p, q)$ & $S p(p) \times S p(q)$ \\ $S p(2 n, \mathbb{C})$ & $S p(n)$ & $S O^{*}(2 n)$ & $U(n)$ \\ \hline \end{tabular} Вторая гомотопич. группа любой группы Ли тривиальна. Топология компактных групп Ли. Пусть $\omega$ - замкнутая дифференциальная форма на компактной группе. Тогда существует инвариантная (то есть не меняющаяся при левых и правых сдвигах) замкнутая форма $\omega^{\prime}$, гомологичная $\omega$ [то есть $d\left(\omega-\omega^{\prime}\right)=0$ ]. Таким образом, любой класс когомологий де Рама может быть реализован инвариантной формой. Для таких форм известны простые явные формулы.

Группа $G$, на которой введена структура топологического пространства так, что: 1) отображение $\pi: G \times G \rightarrow G$, заданное формулой $\pi\left(g_{1}, g_{2}\right)=g_{1} g_{2}$, непрерывно; 2) отображение $g \rightarrow g^{-1}$ из $G$ в себя также непрерывно. Т. г. $G$ называется компактной (соответственно, связной), если соответствующее пространство компактно (соответственно, связно). Т. г. локально компактна, если в ней существует открытая окрестность единицы, замыкание к-рой компактно. Т. г. называется дискретной, если все подмножества в $G$ открыты. Наиболее интересный пример Т. г.- Ли группы. Если говорят о подгруппе в Т. г., то обычно подразумевается замкнутая подгруппа. Топология групп Ли. У любой связной группы Ли существует единственная односвязная накрывающая группа Ли. Любая односвязная разрешимая группа Ли стягиваема. Любая группа Ли содержит максимальную компактную подгруппу (то есть не содержащуюся ни в какой другой компактной подгруппе). Если $\mathscr{K}_{1}$ и $\mathscr{K}_{2}-$ две максимальные компактные подгруппы, то они сопряжены, то есть существует $x \in G$ такой, что $x_{\mathcal{K}} x^{-1}=\mathscr{K}_{2}$. Любая группа Ли стягивается на свою максимальную компактную подгруппу. Максимальные компактные подгруппы классич. групп дает следующая таблица: \begin{tabular}{|c|c||c|c|} \hline Группа & $\begin{array}{c}\text { Ее максимальная } \\ \text { подгруппа }\end{array}$ & Группа & $\begin{array}{c}\text { Ее максимальная } \\ \text { подгруппа }\end{array}$ \\ \hline$S L(n, \mathbb{R})$ & $S O(n, \mathbb{R})$ & $S p(2 n, \mathbb{R})$ & $U(n)$ \\ $S L(n, \mathbb{C})$ & $S U(n)$ & $O(p, q)$ & $O(p) \times O(q)$ \\ $S L(n, \mathbb{H})$ & $S p(n)$ & $U(p, q)$ & $U(p) \times U(q)$ \\ $S O(n, \mathbb{C})$ & $S O(n, \mathbb{R})$ & $S p(p, q)$ & $S p(p) \times S p(q)$ \\ $S p(2 n, \mathbb{C})$ & $S p(n)$ & $S O^{*}(2 n)$ & $U(n)$ \\ \hline \end{tabular} Вторая гомотопич. группа любой группы Ли тривиальна. Топология компактных групп Ли. Пусть $\omega$ - замкнутая дифференциальная форма на компактной группе. Тогда существует инвариантная (то есть не меняющаяся при левых и правых сдвигах) замкнутая форма $\omega^{\prime}$, гомологичная $\omega$ [то есть $d\left(\omega-\omega^{\prime}\right)=0$ ]. Таким образом, любой класс когомологий де Рама может быть реализован инвариантной формой. Для таких форм известны простые явные формулы.