ТРАНСФЕР-МАТРИЦА В ЕВКЛИДОВОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

сжимающая полугруппа операторов $\breve{t}_{t}$, действующая в гильбертовом пространстве $H_{\text {физ }}$ состояний поля, генератор которого совпадает с его гамильтонианом. Обычная конструкция Т.-м., восходящая к К. Остервальдеру и Р. Шрадеру (см. [1]), состоит в следующем. Пусть на полевой алгебре $\varepsilon$ определена антилинейная инволюция $\theta$, задаваемая обращением времени, и квазисостояние $\langle\cdot\rangle$, положительное при отражениях: \[ \langle\theta A\rangle=\overline{\langle A\rangle},\langle A \theta A\rangle \geqslant 0, A \in \varepsilon_{+}, \] где $\varepsilon_{+} \subset \varepsilon-$ подалгебра «будущего». Тогда физич. гильбертово пространство $H_{\text {физ }} \subset \bar{\varepsilon}_{+} / N$, где $N=\left\{F \in \varepsilon_{+},\langle F \theta F\rangle=0\right\}$, а в факторпространстве $\varepsilon_{+} / N$ определяется скалярное произведение $(f, g)=\langle F \theta G\rangle$, где $F, G \in \varepsilon_{+}$- представители классов $f, g \in \varepsilon_{+} / N$. Пополнение $\bar{\varepsilon}_{+} / N$ берется по этому скалярному произведению. «Временной сдвиг» $\tau_{t}, \varepsilon_{t} \rightarrow \varepsilon_{+}, t>0$, алгебры $\varepsilon_{+}$порождает в $H_{\text {физ }}$ самосопряженный сжимающий оператор $\widetilde{J}_{t}$, а семейство таких операторов образует полугруппу. Ее представлением в виде \[ \widetilde{T}_{t}=\exp \left\{-t H_{\text {физ }}\right\} \] вводится самосопряженный генератор $H_{\text {физ }}$, к-рый, по определению, и полагается гамильтонианом поля. В случае, когда евклидово поле является обычным случайным (быть может, обобщенным) марковским полем в пространстве-времени $\mathbb{R}^{v+1}$, к-рое можно рассматривать как марковский процесс вдоль направления времени, Т.-м. $\sqrt{J_{t}}$ совпадает с полугруппой стохастич. операторов этого процесса (состояниями процесса служат конфигурации поля в $\left.\mathbb{R}^{v}\right)$. В случае решетчатых моделей евклидова поля, когда время $t$ дискретно, $t=0,1,2, \ldots$, Т.-м. обычно называется образующая $\mathscr{T}=\mathscr{T}_{t=1}$ полугруппы $\mathscr{T}_{t}$, а гамильтонианом - оператор $H_{\text {физ }}=\frac{1}{2} \ln \mathscr{T}^{2}$. Лит.: [1] Osterwalder K., Schrader R., «Comm. Math. Phys.», 1973, v. 31, p. 83-112; 1975, v. 42, p. 281-304; [2] Глимм Дж., Джаффе А., Математические методы квантовой физики, пер. с $\begin{array}{ll}\text { англ., М., } 1984 . & \text { Р. A. Минлос. }\end{array}$

сжимающая полугруппа операторов $\breve{t}_{t}$, действующая в гильбертовом пространстве $H_{\text {физ }}$ состояний поля, генератор которого совпадает с его гамильтонианом. Обычная конструкция Т.-м., восходящая к К. Остервальдеру и Р. Шрадеру (см. [1]), состоит в следующем. Пусть на полевой алгебре $\varepsilon$ определена антилинейная инволюция $\theta$, задаваемая обращением времени, и квазисостояние $\langle\cdot\rangle$, положительное при отражениях: \[ \langle\theta A\rangle=\overline{\langle A\rangle},\langle A \theta A\rangle \geqslant 0, A \in \varepsilon_{+}, \] где $\varepsilon_{+} \subset \varepsilon-$ подалгебра «будущего». Тогда физич. гильбертово пространство $H_{\text {физ }} \subset \bar{\varepsilon}_{+} / N$, где $N=\left\{F \in \varepsilon_{+},\langle F \theta F\rangle=0\right\}$, а в факторпространстве $\varepsilon_{+} / N$ определяется скалярное произведение $(f, g)=\langle F \theta G\rangle$, где $F, G \in \varepsilon_{+}$- представители классов $f, g \in \varepsilon_{+} / N$. Пополнение $\bar{\varepsilon}_{+} / N$ берется по этому скалярному произведению. «Временной сдвиг» $\tau_{t}, \varepsilon_{t} \rightarrow \varepsilon_{+}, t>0$, алгебры $\varepsilon_{+}$порождает в $H_{\text {физ }}$ самосопряженный сжимающий оператор $\widetilde{J}_{t}$, а семейство таких операторов образует полугруппу. Ее представлением в виде \[ \widetilde{T}_{t}=\exp \left\{-t H_{\text {физ }}\right\} \] вводится самосопряженный генератор $H_{\text {физ }}$, к-рый, по определению, и полагается гамильтонианом поля. В случае, когда евклидово поле является обычным случайным (быть может, обобщенным) марковским полем в пространстве-времени $\mathbb{R}^{v+1}$, к-рое можно рассматривать как марковский процесс вдоль направления времени, Т.-м. $\sqrt{J_{t}}$ совпадает с полугруппой стохастич. операторов этого процесса (состояниями процесса служат конфигурации поля в $\left.\mathbb{R}^{v}\right)$. В случае решетчатых моделей евклидова поля, когда время $t$ дискретно, $t=0,1,2, \ldots$, Т.-м. обычно называется образующая $\mathscr{T}=\mathscr{T}_{t=1}$ полугруппы $\mathscr{T}_{t}$, а гамильтонианом - оператор $H_{\text {физ }}=\frac{1}{2} \ln \mathscr{T}^{2}$. Лит.: [1] Osterwalder K., Schrader R., «Comm. Math. Phys.», 1973, v. 31, p. 83-112; 1975, v. 42, p. 281-304; [2] Глимм Дж., Джаффе А., Математические методы квантовой физики, пер. с $\begin{array}{ll}\text { англ., М., } 1984 . & \text { Р. A. Минлос. }\end{array}$