ТРОТТЕРА-КАТО ТЕОРЕМА

теорема о сходимости последовательности однопараметрических полугрупп $\left\{T_{n}(t)\right\}$ класса $C_{0}$ в банаховом пространстве $X$. (В частном случае теорема доказана в [1], общий случай рассмотрен в [2], доказательство завершено в [3].) Пусть $A_{n}, n \in \mathbb{N},-$ генераторы $C_{0}$-полугрупп, для к-рых $\left\|T_{n}(t)\right\| \leqslant M e^{\omega t}$ при всех $n \in \mathbb{N}, t \geqslant 0, M$ и $\omega-$ константы. Для существования $C_{0}$-полугруппы $\{T(t)\}$ с генератором $A$ такой, что \[ \lim _{n \rightarrow \infty} T_{n}(t) f=T(t) f \] при всех $f \in X$ равномерно по $t$ на компактах в $\mathbb{R}_{+}$, необходимо и достаточно, чтобы существовал \[ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\lambda_{0} I-A\right)^{-1} f=R f \] при нек-ром $\lambda_{0}$ с $\operatorname{Re} \lambda_{0}>\omega$ и всех $f \in X$, где $R \in \mathscr{B}(X)-$ инъективный оператор с плотным множеством значений. Тогда $R=\left(\lambda_{0} I-A\right)^{-1}$. Возможны обобщения для равностепенно непрерывных полугрупп линейных операторов в локально выпуклых топологич. линейных пространствах. Лит.: [1] Neveu J., «Univ. Calif. Publ. Statist.», 1958, v. 2, p. 319-94; [2] Trotter H., «Pacif. J. Math.», 1958, v. 8, p. 887-919; [3] Kato T., «Proc. Jap. Acad.», 1959, v. 35, p. 467-68. А. В. Булинский.

теорема о сходимости последовательности однопараметрических полугрупп $\left\{T_{n}(t)\right\}$ класса $C_{0}$ в банаховом пространстве $X$. (В частном случае теорема доказана в [1], общий случай рассмотрен в [2], доказательство завершено в [3].) Пусть $A_{n}, n \in \mathbb{N},-$ генераторы $C_{0}$-полугрупп, для к-рых $\left\|T_{n}(t)\right\| \leqslant M e^{\omega t}$ при всех $n \in \mathbb{N}, t \geqslant 0, M$ и $\omega-$ константы. Для существования $C_{0}$-полугруппы $\{T(t)\}$ с генератором $A$ такой, что \[ \lim _{n \rightarrow \infty} T_{n}(t) f=T(t) f \] при всех $f \in X$ равномерно по $t$ на компактах в $\mathbb{R}_{+}$, необходимо и достаточно, чтобы существовал \[ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\lambda_{0} I-A\right)^{-1} f=R f \] при нек-ром $\lambda_{0}$ с $\operatorname{Re} \lambda_{0}>\omega$ и всех $f \in X$, где $R \in \mathscr{B}(X)-$ инъективный оператор с плотным множеством значений. Тогда $R=\left(\lambda_{0} I-A\right)^{-1}$. Возможны обобщения для равностепенно непрерывных полугрупп линейных операторов в локально выпуклых топологич. линейных пространствах. Лит.: [1] Neveu J., «Univ. Calif. Publ. Statist.», 1958, v. 2, p. 319-94; [2] Trotter H., «Pacif. J. Math.», 1958, v. 8, p. 887-919; [3] Kato T., «Proc. Jap. Acad.», 1959, v. 35, p. 467-68. А. В. Булинский.