УДАРНАЯ СХЕМА ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

метод приближенного решения нестационарного уравнения Шредингера при достаточно быстром (в предельном случае мгновенном) включении возмущения; применима в случае, противоположном по отношению к адиабатической теории возмущений. Чаще всего используется при расчетах сечений процессов, в к-рых скорость относительного движения взаимодействующих систем велика по сравнению с характерными скоростями движения частиц внутри этих систем, так что волновую функцию каждой системы можно считать неизменной в течение времени взаимодействия и совпадающей с волновой функцией начального состояния. Существенно, что область применимости У.с. определяется не величиной возмущения, а скоростью его изменения. Временное уравнение Шредингера с безразмерной переменной $s$ имеет вид: \[ \frac{i \hbar}{T} \frac{\partial}{\partial s}|\Psi(s)\rangle=\hat{H}(s)|\Psi(s)\rangle \] где $s=\left(t-t_{0}\right) / T ; T=t_{1}-t_{0}-$ промежуток времени, в течение к-рого гамильтониан изменяется от начального $\hat{H}_{0} \equiv \hat{H}(0)$ в момент времени $t_{0}$ до конечного $\hat{H}_{1} \equiv \hat{H}(1)$ в момент $t_{1}$. В частности, случаю мгновенного включения взаимодействия соответствует предел $T \rightarrow 0$. Временное уравнение Шредингера эквивалентно интегральному уравнению \[ |\Psi(s)\rangle=|\Psi(0)\rangle-\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s} \hat{H}(u)|\Psi(u)\rangle d u \] с вектором состояния $|\Psi(0)\rangle$, определяющим начальное положение системы. Итерационное решение этого уравнения позволяет найти функцию $|\Psi(s)\rangle$ в произвольный момент времени в виде ряда по степеням $T$, к-рый и определяет У.с.: \[ \begin{gathered} |\Psi(s)\rangle=\left[1-\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s} \hat{H}(u) d u-\right. \\ \left.-\frac{T^{2}}{\hbar^{2}} \int_{0}^{s} \int_{0}^{u} \hat{H}(u) H(v) d u d v+\ldots\right]|\Psi(0)\rangle . \end{gathered} \] Пусть в начальный момент времени система находилась в одном из стационарных состояний исходного гамильтониана, то есть где \[ |\Psi(0)\rangle=\left|\varphi_{i}\right\rangle \] \[ \hat{H}(0)\left|\varphi_{i}\right\rangle=\varepsilon_{i}\left|\varphi_{i}\right\rangle \] Если после мгновенного $(T \rightarrow 0)$ включения взаимодействия гамильтониан изменяется к виду $\hat{H}$ (1) с новым набором стационарных состояний \[ \hat{H}(1)\left|\chi_{k}\right\rangle=v_{k}\left|\chi_{k}\right\rangle \] то в нулевом приближении У.с. просто решается задача об определении вероятности перехода системы в одно из этих состояний \[ w_{k i}=\left|\left\langle\chi_{k} \mid \varphi_{i}\right\rangle\right|^{2} \text {. } \] Ошибка нулевого приближения У.с. определяется вероятностью обнаружить при $s=1$ систему в состоянии, отличном от начального. Амплитуду этой вероятности можно найти по формуле \[ \delta=\left\langle\Psi(1)\left|\left(1-\hat{P}_{0}\right)\right| \Psi(1)\right\rangle \] где $\hat{P}_{0}=|\Psi(0)\rangle\left\langle\Psi_{0}\right|-$ оператор проектирования на начальное состояние. Подстановка разложения для $|\Psi(1)\rangle$ с точностью до второго порядка по $T$ приводит к \[ \delta=\frac{T^{2}}{\hbar^{2}}\left[\left\langle\Psi(0)\left|\hat{\bar{H}}^{2}\right| \Psi(0)\right\rangle-(\langle\Psi(0)|\hat{\vec{H}}| \Psi(0)\rangle)^{2}\right] \] где \[ \hat{\bar{H}}=\int_{0}^{1} \hat{H}(s) d s \] Таким образом, точность У.с. теории возмущений определяется не величиной гамильтониана, а его среднеквадратичным отклонением за время взаимодействия. И. Д. Феранчук.

метод приближенного решения нестационарного уравнения Шредингера при достаточно быстром (в предельном случае мгновенном) включении возмущения; применима в случае, противоположном по отношению к адиабатической теории возмущений. Чаще всего используется при расчетах сечений процессов, в к-рых скорость относительного движения взаимодействующих систем велика по сравнению с характерными скоростями движения частиц внутри этих систем, так что волновую функцию каждой системы можно считать неизменной в течение времени взаимодействия и совпадающей с волновой функцией начального состояния. Существенно, что область применимости У.с. определяется не величиной возмущения, а скоростью его изменения. Временное уравнение Шредингера с безразмерной переменной $s$ имеет вид: \[ \frac{i \hbar}{T} \frac{\partial}{\partial s}|\Psi(s)\rangle=\hat{H}(s)|\Psi(s)\rangle \] где $s=\left(t-t_{0}\right) / T ; T=t_{1}-t_{0}-$ промежуток времени, в течение к-рого гамильтониан изменяется от начального $\hat{H}_{0} \equiv \hat{H}(0)$ в момент времени $t_{0}$ до конечного $\hat{H}_{1} \equiv \hat{H}(1)$ в момент $t_{1}$. В частности, случаю мгновенного включения взаимодействия соответствует предел $T \rightarrow 0$. Временное уравнение Шредингера эквивалентно интегральному уравнению \[ |\Psi(s)\rangle=|\Psi(0)\rangle-\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s} \hat{H}(u)|\Psi(u)\rangle d u \] с вектором состояния $|\Psi(0)\rangle$, определяющим начальное положение системы. Итерационное решение этого уравнения позволяет найти функцию $|\Psi(s)\rangle$ в произвольный момент времени в виде ряда по степеням $T$, к-рый и определяет У.с.: \[ \begin{gathered} |\Psi(s)\rangle=\left[1-\frac{i T}{\hbar} \int_{0}^{s} \hat{H}(u) d u-\right. \\ \left.-\frac{T^{2}}{\hbar^{2}} \int_{0}^{s} \int_{0}^{u} \hat{H}(u) H(v) d u d v+\ldots\right]|\Psi(0)\rangle . \end{gathered} \] Пусть в начальный момент времени система находилась в одном из стационарных состояний исходного гамильтониана, то есть где \[ |\Psi(0)\rangle=\left|\varphi_{i}\right\rangle \] \[ \hat{H}(0)\left|\varphi_{i}\right\rangle=\varepsilon_{i}\left|\varphi_{i}\right\rangle \] Если после мгновенного $(T \rightarrow 0)$ включения взаимодействия гамильтониан изменяется к виду $\hat{H}$ (1) с новым набором стационарных состояний \[ \hat{H}(1)\left|\chi_{k}\right\rangle=v_{k}\left|\chi_{k}\right\rangle \] то в нулевом приближении У.с. просто решается задача об определении вероятности перехода системы в одно из этих состояний \[ w_{k i}=\left|\left\langle\chi_{k} \mid \varphi_{i}\right\rangle\right|^{2} \text {. } \] Ошибка нулевого приближения У.с. определяется вероятностью обнаружить при $s=1$ систему в состоянии, отличном от начального. Амплитуду этой вероятности можно найти по формуле \[ \delta=\left\langle\Psi(1)\left|\left(1-\hat{P}_{0}\right)\right| \Psi(1)\right\rangle \] где $\hat{P}_{0}=|\Psi(0)\rangle\left\langle\Psi_{0}\right|-$ оператор проектирования на начальное состояние. Подстановка разложения для $|\Psi(1)\rangle$ с точностью до второго порядка по $T$ приводит к \[ \delta=\frac{T^{2}}{\hbar^{2}}\left[\left\langle\Psi(0)\left|\hat{\bar{H}}^{2}\right| \Psi(0)\right\rangle-(\langle\Psi(0)|\hat{\vec{H}}| \Psi(0)\rangle)^{2}\right] \] где \[ \hat{\bar{H}}=\int_{0}^{1} \hat{H}(s) d s \] Таким образом, точность У.с. теории возмущений определяется не величиной гамильтониана, а его среднеквадратичным отклонением за время взаимодействия. И. Д. Феранчук.