УИЗЕМА МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ, НЕЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД ВКБ

метод построения быстроосциллирующих асимптотических решений вида \[ u=f\left(\frac{S(x, t)}{h}, x, t, h\right) \] (волновых пакетов), нелинейных уравнений с частными производными с малым параметром $h$. Фаза $S(x, t)$ и $f(\tau, x, t, h)$ - гладкие функции, \[ f=f_{0}(\tau, x, t)+h f_{1}(\tau, x, t)+\ldots, \] $f_{k}-2 \pi$-периодичны по аргументу $\tau$. Функции $S, f_{0}, f_{1}, \ldots$ определяются в результате подстановки $u$ в соответствующее уравнение, приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях $h$ к нулю и учета требования $2 \pi$-периодичности $f_{k}$. Напр., для нелинейного волнового уравнения (см. [2]-[6]) \[ h^{2}\left(u_{t t}-\nabla^{2} u\right)+\mathscr{F}_{u}^{\prime}(u, x)=0, x \in \mathbb{R}^{n} \] соотношения, связывающие $S, f_{0}, f_{1}, \ldots$, имеют вид системы обыкновенных по $\tau$ дифференциальных уравнений, содержащей $x$ и $t$ как параметры \[ \begin{gathered} m \frac{\partial^{2} f_{0}}{\partial \tau^{2}}+\mathscr{F}_{u}^{\prime}\left(f_{0}, x\right)=0, \quad m=S_{t}^{2}-(\nabla S)^{2}, \\ L f_{k} \stackrel{\operatorname{def}}{\equiv} m \frac{\partial^{2} f_{k}}{\partial \tau^{2}}+\mathscr{F}_{u u}^{\prime \prime}\left(f_{0}, x\right) f_{k}=R_{k} . \end{gathered} \] Здесь $x, t$ и $\tau$ считаются независимыми переменными, $R_{k}-$ функции от $f_{0}, f_{1}, \ldots, f_{k-1}, S_{t}$, $\nabla S$ и их производных. Решение уравнения (2) представляется в виде \[ f_{0}=g(\tau+P(x, t), E(x, t), x), \] где $P, E \equiv m g_{\tau}^{2}+\mathscr{F}(g, x)-$ константы интегрирования. Пусть при каждых $(x, E) \in \mathbb{R} \times\left[E_{0}, E_{1}\right] g(\tau, E, x)$ - периодич. функция $\tau$; ее период \[ T\left(S_{t}, \nabla S, E, x\right)=2 \sqrt{m} \int_{g_{-}}^{g_{+}} \frac{d g}{\sqrt{E-\mathscr{T}(g, x)}}, \] $g_{ \pm}(E, x)$ - нули $E-\mathscr{F}(g, x)$. Требование \[ T\left(S_{t}, \nabla S, E, x\right)=2 \pi \] приводит к соотношению, связывающему $S$ и $E$ (уравнению Гамильтона - Якоби для $S$ в линейной теории). Требование существования у (2) при $k=12 \pi$-периодич. решения, эквивалентное условию ортогональности в $L_{2}[0,2 \pi]$ \[ \int_{0}^{2 \pi} R_{0} f_{0 \tau} d \tau \] функции $f_{0 \tau}$, принадлежащей ядру самосопряженного оператора $L$, вместе с (3) образуют замкнутую систему уравнений, связывающую $S$ и $E$. Требование $2 \pi$-периодичности функций $f_{k}$ при $k=2$ приводит к уравнению для поправки к фазе $P$ и при $k>2-$ констант интегрирования, возникающих при нахождении $f_{k-2}$. Другие способы получения уравнений для $S$ и $E$ основываются на осреднении законов сохранения и вариационных принципах (см. [2], [4], [5]). Часто бывает удобно вместо $S$ и $E$ использовать другие функции, параметризующие главный член асимптотич. решения $f_{0}(S / h, x, t)$. Система (1), (2) описывает динамику одноатомного газа (см. [6]), для этой и подобных систем, возникающих при определении, имеется гамильтонов формализм (см. [7]); в ряде случаев они оказываются интегрируемыми (см. [8]). Для нек-рых нелинейных уравнений могут быть получены многофазовые асимптотики (тогда $S=\left(S_{1}(x, t), \ldots, S_{l}(x, t)\right)$ - векторнозначна (см. [2], [4], [9], [10]), теория возмущений существенно усложняется из-за резонансов (см. [10]). Лит.: [1] Whitham G. B., «Proc. Roy. Soc.», 1965, A283, № 1393, p. 238-61; [2] его же, Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., M., 1977; [3] Luke J. C., «Proc. Roy. Soc.», 1966, A292, № 1430, p. 403-12; [4] Доброхотов С. Ю., Маслов В. П., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 15, М., 1980, с. 3-94; [5] Скотт Э., Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике, пер. с англ., М., 1977; [6] Маслов В. П., «Теоретич. и математич. физика», 1969, № 3, с. 378-83; [7] Дубровин Б. А., Новиков С. П., «Доклады АН СССР», 1983, т. 270, № 4, с. 781-85; [8] Царев С. П., там же, 1985, т. 282, № 3, с. 534-37; [9] Flaschka H., Forest M., McLaughlin D., «Comm. Pure and Appl. Math.», 1980, v. 33, № 6, p. 739-78; [10] Доброхотов С. Ю., «Математич. заметки», 1988, т. 44, № 4, $\begin{array}{ll}\text { c. 551-55. } & \text { С. Ю. Доброхотов. }\end{array}$

метод построения быстроосциллирующих асимптотических решений вида \[ u=f\left(\frac{S(x, t)}{h}, x, t, h\right) \] (волновых пакетов), нелинейных уравнений с частными производными с малым параметром $h$. Фаза $S(x, t)$ и $f(\tau, x, t, h)$ - гладкие функции, \[ f=f_{0}(\tau, x, t)+h f_{1}(\tau, x, t)+\ldots, \] $f_{k}-2 \pi$-периодичны по аргументу $\tau$. Функции $S, f_{0}, f_{1}, \ldots$ определяются в результате подстановки $u$ в соответствующее уравнение, приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях $h$ к нулю и учета требования $2 \pi$-периодичности $f_{k}$. Напр., для нелинейного волнового уравнения (см. [2]-[6]) \[ h^{2}\left(u_{t t}-\nabla^{2} u\right)+\mathscr{F}_{u}^{\prime}(u, x)=0, x \in \mathbb{R}^{n} \] соотношения, связывающие $S, f_{0}, f_{1}, \ldots$, имеют вид системы обыкновенных по $\tau$ дифференциальных уравнений, содержащей $x$ и $t$ как параметры \[ \begin{gathered} m \frac{\partial^{2} f_{0}}{\partial \tau^{2}}+\mathscr{F}_{u}^{\prime}\left(f_{0}, x\right)=0, \quad m=S_{t}^{2}-(\nabla S)^{2}, \\ L f_{k} \stackrel{\operatorname{def}}{\equiv} m \frac{\partial^{2} f_{k}}{\partial \tau^{2}}+\mathscr{F}_{u u}^{\prime \prime}\left(f_{0}, x\right) f_{k}=R_{k} . \end{gathered} \] Здесь $x, t$ и $\tau$ считаются независимыми переменными, $R_{k}-$ функции от $f_{0}, f_{1}, \ldots, f_{k-1}, S_{t}$, $\nabla S$ и их производных. Решение уравнения (2) представляется в виде \[ f_{0}=g(\tau+P(x, t), E(x, t), x), \] где $P, E \equiv m g_{\tau}^{2}+\mathscr{F}(g, x)-$ константы интегрирования. Пусть при каждых $(x, E) \in \mathbb{R} \times\left[E_{0}, E_{1}\right] g(\tau, E, x)$ - периодич. функция $\tau$; ее период \[ T\left(S_{t}, \nabla S, E, x\right)=2 \sqrt{m} \int_{g_{-}}^{g_{+}} \frac{d g}{\sqrt{E-\mathscr{T}(g, x)}}, \] $g_{ \pm}(E, x)$ - нули $E-\mathscr{F}(g, x)$. Требование \[ T\left(S_{t}, \nabla S, E, x\right)=2 \pi \] приводит к соотношению, связывающему $S$ и $E$ (уравнению Гамильтона - Якоби для $S$ в линейной теории). Требование существования у (2) при $k=12 \pi$-периодич. решения, эквивалентное условию ортогональности в $L_{2}[0,2 \pi]$ \[ \int_{0}^{2 \pi} R_{0} f_{0 \tau} d \tau \] функции $f_{0 \tau}$, принадлежащей ядру самосопряженного оператора $L$, вместе с (3) образуют замкнутую систему уравнений, связывающую $S$ и $E$. Требование $2 \pi$-периодичности функций $f_{k}$ при $k=2$ приводит к уравнению для поправки к фазе $P$ и при $k>2-$ констант интегрирования, возникающих при нахождении $f_{k-2}$. Другие способы получения уравнений для $S$ и $E$ основываются на осреднении законов сохранения и вариационных принципах (см. [2], [4], [5]). Часто бывает удобно вместо $S$ и $E$ использовать другие функции, параметризующие главный член асимптотич. решения $f_{0}(S / h, x, t)$. Система (1), (2) описывает динамику одноатомного газа (см. [6]), для этой и подобных систем, возникающих при определении, имеется гамильтонов формализм (см. [7]); в ряде случаев они оказываются интегрируемыми (см. [8]). Для нек-рых нелинейных уравнений могут быть получены многофазовые асимптотики (тогда $S=\left(S_{1}(x, t), \ldots, S_{l}(x, t)\right)$ - векторнозначна (см. [2], [4], [9], [10]), теория возмущений существенно усложняется из-за резонансов (см. [10]). Лит.: [1] Whitham G. B., «Proc. Roy. Soc.», 1965, A283, № 1393, p. 238-61; [2] его же, Линейные и нелинейные волны, пер. с англ., M., 1977; [3] Luke J. C., «Proc. Roy. Soc.», 1966, A292, № 1430, p. 403-12; [4] Доброхотов С. Ю., Маслов В. П., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 15, М., 1980, с. 3-94; [5] Скотт Э., Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике, пер. с англ., М., 1977; [6] Маслов В. П., «Теоретич. и математич. физика», 1969, № 3, с. 378-83; [7] Дубровин Б. А., Новиков С. П., «Доклады АН СССР», 1983, т. 270, № 4, с. 781-85; [8] Царев С. П., там же, 1985, т. 282, № 3, с. 534-37; [9] Flaschka H., Forest M., McLaughlin D., «Comm. Pure and Appl. Math.», 1980, v. 33, № 6, p. 739-78; [10] Доброхотов С. Ю., «Математич. заметки», 1988, т. 44, № 4, $\begin{array}{ll}\text { c. 551-55. } & \text { С. Ю. Доброхотов. }\end{array}$