УМНОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

операция над обобщенными функциями, сохраняющая основные свойства поточечного умножения функций (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и т. д.) и в случае регулярных обобщенных функций совпадающая с поточечным умножением. Такое У. противоречит определению обобщенной функции как линейного функционала и в большинстве стандартных пространств невозможно. Пример Л. Шварца (L. Schwartz): $0=0 \cdot p \frac{1}{x}=(x \cdot \delta(x)) \cdot p \frac{1}{x} \neq \delta(x) \cdot\left(x \cdot p \frac{1}{x}\right)=\delta(x) \cdot 1=\delta(x)$ показывает, что У. обобщенных функций не определено в пространстве распределений Шварца $\mathscr{D}^{\prime}$. Многочисленные попытки построения У. обобщенных функций мотивируются нуждами приложений в квантовой теории поля, в теории нелинейных дифференциальных уравнений, при описании ударных волн и т. д. Основной способ определения У. обобщенных функций - использование регуляризации обобщенной функции, когда произведение $f \cdot g$ обобщенных функций $f$ и $g$ определяется как предел произведений их регуляризаций $f_{v}$ и $g_{v}$, то есть полагают, по определению, \[ (f \cdot g, \Phi)=\lim _{v \rightarrow \infty}\left(f_{v} g_{v}, \Phi\right), \quad \Phi \in \mathscr{F} . \] В специальных классах обобщенных функций такой предел существует и приводит к корректной операции умножения (наиболее известный пример - одночастотные функции в квантовой теории поля, и его развитие - граничные значения аналитич. функций из Владимирова алгебр). В большинстве случаев такой предел существует лишь на нек-ром подпространстве из $\mathscr{F}$ и требует доопределения на всем $\mathscr{F}$. Такое доопределение целиком диктуется решаемой прикладной задачей и может быть далеко нетривиальным.

операция над обобщенными функциями, сохраняющая основные свойства поточечного умножения функций (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и т. д.) и в случае регулярных обобщенных функций совпадающая с поточечным умножением. Такое У. противоречит определению обобщенной функции как линейного функционала и в большинстве стандартных пространств невозможно. Пример Л. Шварца (L. Schwartz): $0=0 \cdot p \frac{1}{x}=(x \cdot \delta(x)) \cdot p \frac{1}{x} \neq \delta(x) \cdot\left(x \cdot p \frac{1}{x}\right)=\delta(x) \cdot 1=\delta(x)$ показывает, что У. обобщенных функций не определено в пространстве распределений Шварца $\mathscr{D}^{\prime}$. Многочисленные попытки построения У. обобщенных функций мотивируются нуждами приложений в квантовой теории поля, в теории нелинейных дифференциальных уравнений, при описании ударных волн и т. д. Основной способ определения У. обобщенных функций - использование регуляризации обобщенной функции, когда произведение $f \cdot g$ обобщенных функций $f$ и $g$ определяется как предел произведений их регуляризаций $f_{v}$ и $g_{v}$, то есть полагают, по определению, \[ (f \cdot g, \Phi)=\lim _{v \rightarrow \infty}\left(f_{v} g_{v}, \Phi\right), \quad \Phi \in \mathscr{F} . \] В специальных классах обобщенных функций такой предел существует и приводит к корректной операции умножения (наиболее известный пример - одночастотные функции в квантовой теории поля, и его развитие - граничные значения аналитич. функций из Владимирова алгебр). В большинстве случаев такой предел существует лишь на нек-ром подпространстве из $\mathscr{F}$ и требует доопределения на всем $\mathscr{F}$. Такое доопределение целиком диктуется решаемой прикладной задачей и может быть далеко нетривиальным.