ВАРИАЦИОННОЕ НЕРАВЕНСТВО

неравенство, возникшее как обобщение уравнений Эйлера из задач минимизации выпуклых функционалов. Наиболее распространены следующие постановки В. н.: найти $u \in K:\langle A u, v-u\rangle \geqslant 0$ для всех $v \in K$, найти $u \in V:-A u \in \operatorname{dg}(u)$. Здесь $V-$ рефлексивное банахово пространство, $V^{\prime}-$ его двойственное, $K$ - выпуклое замкнутое множество в $V$, оператор $A: V \rightarrow V^{\prime}, \partial g: V \rightarrow 2^{V^{\prime}}-$ субдифференциал выпуклого полунепрерывного снизу функционала $g: V \rightarrow \mathbb{R}$. Если существует выпуклый функционал $I: V \rightarrow \mathbb{R}$, такой, что $A$ совпадает с его производной по Гато, то (1) и (2) эквивалентны задачам о \[ \min _{v \in K} I(v) \quad \text { и } \quad \min _{v \in V}(I(v)+g(v)) \] соответственно. Разрешимость В. н. установлена для широкого класса операторов $A$ (не обязательно потенциальных) при произвольных $K, g$. Если $A$ связан с дифференциальным эллиптич. оператором $L^{\prime}$, а $V=V(D)$ - подходящее пространство Соболева функций, определенных в ограниченной области $D \subset \mathbb{R}^{n}$, то В. н. можно трактовать как слабую постановку краевой задачи в $D$ для $L$. Вид краевой задачи зависит от выбора $K$ или $\boldsymbol{g}$. Для приложений важны В. н. с множествами $K$ вида \[ K=\left\{v \in[V(D)]^{N} \mid v(x) \in K_{1}(x) \text { для почти всех } x \in E\right\} \] (задачи с препятствием на $E$ ) \[ K=\left\{v \in V(D): \nabla v(x) \in K_{2}(x) \text { для почти всех } x \in E\right\} \] (задачи с ограничениями на градиент), где $K_{1}(x)\left[K_{2}(x)\right]-$ выпуклые замкнутые множества в $\mathbb{R}^{N}\left[\mathbb{R}^{n}\right], E \subseteq \bar{D}$. При нек-рых $K$ В. н. эквивалентны задачам с односторонними условиями на $E$, к-рые можно записать в виде \[ \min \left\{B_{1} u(x), \quad B_{2} u(x)\right\}=0, \quad x \in E . \] В Синьорини задаче односторонние условия ставятся на границе области $\partial D$. В. н. имеют многочисленные приложения в физике, механике. Большой интерес к В. н. вызван тем, что разрешимость в обобщенном смысле задачи, допускающей постановку в виде В. н., зачастую легко получить из общих теорем разрешимости В. н. Однако если существование обобщенного решения обусловлено лишь свойствами оператора $A$, то его дифференциальные свойства зависят также от вида $K$ или $g$. Для В. н. (1) с $K$ вида (3) или (4) имеют место пороги гладкости: решение $u$ обладает гладкостью более высокой, чем класс $V(D)$ в целом, но не выше нек-рого порога. Наличие порогов гладкости, неприменимость стандартных методов, а также необходимость выяснения максимально возможной регулярности решения при численном анализе В. н. и исследовании неизвестной границы создают особый интерес к проблемам регулярности решений В. н. В этом направлении получено много результатов, наиболее полно изучены препятствия задачи. Кроме эллиптич. В. н. [вида (1), (2)] рассматривают эволюционные (параболические) В. н. Многие результаты по разрешимости и регулярности для эллиптич. В. н. распространяются на параболич. случай. Обобщения В. н. на случай, когда $K$ зависит от решения, приводят к квазивариационным неравенствам.

неравенство, возникшее как обобщение уравнений Эйлера из задач минимизации выпуклых функционалов. Наиболее распространены следующие постановки В. н.: найти $u \in K:\langle A u, v-u\rangle \geqslant 0$ для всех $v \in K$, найти $u \in V:-A u \in \operatorname{dg}(u)$. Здесь $V-$ рефлексивное банахово пространство, $V^{\prime}-$ его двойственное, $K$ - выпуклое замкнутое множество в $V$, оператор $A: V \rightarrow V^{\prime}, \partial g: V \rightarrow 2^{V^{\prime}}-$ субдифференциал выпуклого полунепрерывного снизу функционала $g: V \rightarrow \mathbb{R}$. Если существует выпуклый функционал $I: V \rightarrow \mathbb{R}$, такой, что $A$ совпадает с его производной по Гато, то (1) и (2) эквивалентны задачам о \[ \min _{v \in K} I(v) \quad \text { и } \quad \min _{v \in V}(I(v)+g(v)) \] соответственно. Разрешимость В. н. установлена для широкого класса операторов $A$ (не обязательно потенциальных) при произвольных $K, g$. Если $A$ связан с дифференциальным эллиптич. оператором $L^{\prime}$, а $V=V(D)$ - подходящее пространство Соболева функций, определенных в ограниченной области $D \subset \mathbb{R}^{n}$, то В. н. можно трактовать как слабую постановку краевой задачи в $D$ для $L$. Вид краевой задачи зависит от выбора $K$ или $\boldsymbol{g}$. Для приложений важны В. н. с множествами $K$ вида \[ K=\left\{v \in[V(D)]^{N} \mid v(x) \in K_{1}(x) \text { для почти всех } x \in E\right\} \] (задачи с препятствием на $E$ ) \[ K=\left\{v \in V(D): \nabla v(x) \in K_{2}(x) \text { для почти всех } x \in E\right\} \] (задачи с ограничениями на градиент), где $K_{1}(x)\left[K_{2}(x)\right]-$ выпуклые замкнутые множества в $\mathbb{R}^{N}\left[\mathbb{R}^{n}\right], E \subseteq \bar{D}$. При нек-рых $K$ В. н. эквивалентны задачам с односторонними условиями на $E$, к-рые можно записать в виде \[ \min \left\{B_{1} u(x), \quad B_{2} u(x)\right\}=0, \quad x \in E . \] В Синьорини задаче односторонние условия ставятся на границе области $\partial D$. В. н. имеют многочисленные приложения в физике, механике. Большой интерес к В. н. вызван тем, что разрешимость в обобщенном смысле задачи, допускающей постановку в виде В. н., зачастую легко получить из общих теорем разрешимости В. н. Однако если существование обобщенного решения обусловлено лишь свойствами оператора $A$, то его дифференциальные свойства зависят также от вида $K$ или $g$. Для В. н. (1) с $K$ вида (3) или (4) имеют место пороги гладкости: решение $u$ обладает гладкостью более высокой, чем класс $V(D)$ в целом, но не выше нек-рого порога. Наличие порогов гладкости, неприменимость стандартных методов, а также необходимость выяснения максимально возможной регулярности решения при численном анализе В. н. и исследовании неизвестной границы создают особый интерес к проблемам регулярности решений В. н. В этом направлении получено много результатов, наиболее полно изучены препятствия задачи. Кроме эллиптич. В. н. [вида (1), (2)] рассматривают эволюционные (параболические) В. н. Многие результаты по разрешимости и регулярности для эллиптич. В. н. распространяются на параболич. случай. Обобщения В. н. на случай, когда $K$ зависит от решения, приводят к квазивариационным неравенствам.