ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

вариационные принципы для определения амплитуды рассеяния и фаз рассеяния. Уравнение Шредингера: $(H-E) \psi \equiv(-\Delta+V(x)-E) \psi(x, k)=0, \quad k^{2}=E, \quad k, x \in \mathbb{R}^{3}$, рассматриваемое на классе функций с асимптотич. поведением: \[ \psi(x, k) \sim \exp \{i(x, k)\}+f(\hat{x}, \hat{k}, E) \exp \{i \sqrt{E}|x|\}|x|^{-1}, \] является уравнением Эйлера для функционала \[ I\left(k_{1}, k_{2}\right)-4 \pi f\left(\hat{k}_{1}, \hat{k}_{2}, E\right) \] где \[ I\left(k_{1}, k_{2}\right)=\int \bar{\psi}_{1}\left(x, k_{1}\right)(H-E) \psi_{2}\left(x, k_{2}\right) d x . \] Стационарное значение функционала \[ f\left(\hat{k}_{1}, \hat{k}_{2}, E\right)-\frac{1}{4 \pi} I\left(k_{1}, k_{2}\right) \] совпадает с истинной амплитудой рассеяния. Аналогично, радиальное уравнение Шредингера: \[ \left(H_{l}-k^{2}\right) \psi_{l} \equiv\left(-\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{l(l+1)}{r^{2}}-k^{2}\right) \psi_{l}(r, k)=0, \quad r, k \in \mathbb{R}^{l}, \] рассматриваемое на классе функций с условиями \[ \psi_{l}(0, k)=0, \quad \psi_{l}(r, k) \sim \sin \left(k r-\frac{l \pi}{2}+\eta_{l}\right), \quad r \rightarrow \infty, \] является уравнением Эйлера для функционала \[ I_{l}-k \eta_{l}, \quad I_{l} \equiv \int_{0}^{\infty} \psi_{l}\left(H_{l}-k^{2}\right) \psi_{l} d r \] а стационарное значение $I_{l}-k \eta_{l}$ совпадает с $k \delta_{l}$, где $\delta_{l}-$ точный фазовый сдвиг. Сформулированные В. П. называются вариационными принципами Хюльтена-Кона.

вариационные принципы для определения амплитуды рассеяния и фаз рассеяния. Уравнение Шредингера: $(H-E) \psi \equiv(-\Delta+V(x)-E) \psi(x, k)=0, \quad k^{2}=E, \quad k, x \in \mathbb{R}^{3}$, рассматриваемое на классе функций с асимптотич. поведением: \[ \psi(x, k) \sim \exp \{i(x, k)\}+f(\hat{x}, \hat{k}, E) \exp \{i \sqrt{E}|x|\}|x|^{-1}, \] является уравнением Эйлера для функционала \[ I\left(k_{1}, k_{2}\right)-4 \pi f\left(\hat{k}_{1}, \hat{k}_{2}, E\right) \] где \[ I\left(k_{1}, k_{2}\right)=\int \bar{\psi}_{1}\left(x, k_{1}\right)(H-E) \psi_{2}\left(x, k_{2}\right) d x . \] Стационарное значение функционала \[ f\left(\hat{k}_{1}, \hat{k}_{2}, E\right)-\frac{1}{4 \pi} I\left(k_{1}, k_{2}\right) \] совпадает с истинной амплитудой рассеяния. Аналогично, радиальное уравнение Шредингера: \[ \left(H_{l}-k^{2}\right) \psi_{l} \equiv\left(-\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{l(l+1)}{r^{2}}-k^{2}\right) \psi_{l}(r, k)=0, \quad r, k \in \mathbb{R}^{l}, \] рассматриваемое на классе функций с условиями \[ \psi_{l}(0, k)=0, \quad \psi_{l}(r, k) \sim \sin \left(k r-\frac{l \pi}{2}+\eta_{l}\right), \quad r \rightarrow \infty, \] является уравнением Эйлера для функционала \[ I_{l}-k \eta_{l}, \quad I_{l} \equiv \int_{0}^{\infty} \psi_{l}\left(H_{l}-k^{2}\right) \psi_{l} d r \] а стационарное значение $I_{l}-k \eta_{l}$ совпадает с $k \delta_{l}$, где $\delta_{l}-$ точный фазовый сдвиг. Сформулированные В. П. называются вариационными принципами Хюльтена-Кона.