ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

основные, исходные положения аналитической механики, математически выраженные в форме вариационных соотношений, из которых как логические следствия вытекают дифференциальные уравнения движения, а также все положения и законы механики. В В. п. к. м. действительные движения материальной системы, происходящие под действием заданных сил, сравниваются с кинематически возможными движениями, допускаемыми наложенными на систему связями и удовлетворяющими определенным условиям. В большинстве случаев признаком, по к-рому действительное движение выделяется из рассматриваемого класса кинематически возможных движений, служит условие экстремальности (стационарности) нек-рой скалярной функции или функционала, обеспечивающее инвариантность описания. В. п. к. м. отличаются один от другого как по форме и способам варьирования, так и по общности, но каждый из них, в рамках его приложимости, образует единую основу и как бы синтезирует всю механику соответствующих материальных систем. Иными словами, тот или иной из В. п. к. м. потенциально заключает в себе все содержание этой области науки и объединяет все ее положения в единой формулировке. Классич. механика основывается на законах Ньютона, установленных для свободных материальных точек, и аксиомах связей. Справедливость В. п. к. м. доказывается, исходя из этих законов и аксиом. В свою очередь, любой из В. п. к. м. можно принять за аксиому и из нее логически вывести законы механики. В. п. к. м. по форме подразделяются на дифференциальные и интегральные принципы. К дифференциальным принципам, характеризующим свойства движения для любого данного момента времени, относятся: принцип возможных перемешений, принципы Д'Аламбера - Лагранжа, Гаусса, Герца, Четаева и Журдена. Интегральными принципами, характеризующими свойства движения на любых конечных промежутках времени, являются принципы наименьшего действия в формах Гамильтона - Остроградского, Лагранжа, Якоби и нек-рые другие. Первый из В. п. к. м. - принцип возможных (виртуальных) перемещений, применялся еще Г. Галилеем (G. Galilei, 1665). Первым, кто понял общность этого принципа и его полезность для решения задач статики, был И. Бернулли (J. Bernoulli, 1717). Принцип получил обоснование, существенное развитие и применение в «Аналитической механике» Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1788), считавшего его основным для всей механики. Этот принцип позволяет находить положения равновесия системы материальных точек, то есть такие положения $r_{i}=r_{i}\left(t_{0}\right)$, в к-рых система будет оставаться все время, если она помещена в эти положения с нулевыми начальными скоростями $v_{i}\left(t_{0}\right)=0$ при условии, что $r_{i}\left(t_{0}\right)-$ возможные положения и $v_{i}=0$ - кинематически возможные скорости при любом $t$. Здесь и далее $r_{i}$ - радиус-векторы точек системы относительно начала $O$ инерциальной системы координат $O x y z$, причем $v_{i}=\dot{r}_{i} ; \delta r_{i}-$ возможные (виртуальные) перемещения, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями, $F_{i}\left(t, r_{j}, \dot{r}_{j}\right) \in C^{1}-$ заданные активные силы, $R_{i}$ - реакции связей. Связи предполагаются идеальными и удерживающими, то есть \[ \sum_{i} R_{i} \delta r_{i}=0 . \] См. также Возможных перемещений принцип . Для вывода уравнений динамики методами статики применяется так наз. принцип Д'Аламбера: если к действующим на точки материальной системы заданным (активным) силам и силам реакций связей присоединить силы инерции - $m_{i} w_{i}$, то такая система сил будет находиться в равновесии. Здесь $m_{i}-$ масса $i$-й точки, $w_{i}=\ddot{r}_{i}-$ ее ускорение. Обобщение принципа Д'Аламбера и принципа возможных перемещений было получено Ж. Лагранжем (1788). Общие теоремы динамики системы характеризуют нек-рые свойства движения, но, в отличие от В. п. к. м., ни одна из них в общем случае не в состоянии заменить всю систему дифференциальных уравнений движения и вполне охарактеризовать движение системы. Принцип Д'Аламбера - Лагранжа является одним из наиболее общих В. п. к. м., справедливым как для голономных, так и для неголономных систем. Все другие В. п. к. м. представляют собой или иные формулировки этого принципа или следствия из него. Принцип Д’Аламбера Лагранжа не связан, однако, с понятием экстремума какой-либо функции. В нем фигурирует бесконечно малая величина - сумма элементарных работ заданных сил и сил инерции на бесконечно малом возможном перемещении из заданной конфигурации, не представляющая собой вариации какой-либо функции, \[ \sum_{i}\left(F_{i}-m_{i} w_{i}\right) \delta r_{i}=0 . \] См. также Д'Аламбера - Лагранжа принцип . К. Гаусс (C. Gauss, 1829) предложил новый вариационный принцип, представляющий собой модификацию принципа Д'Аламбера-Лагранжа (Гаусса принцип). Среди всех кинематически возможных движений рассматриваются мыслимые по Гауссу движения, удовлетворяющие условиям наложенных на систему связей и условиям постоянства $r_{i}$ и $v_{i}$ для рассматриваемого момента времени $t$. В момент $t+d t$ : \[ \delta r_{i}=\frac{1}{2} \Delta w_{i}(d t)^{2}, \quad \Delta w=\frac{\delta v_{i}}{d t}-\frac{d v_{i}}{d t}, \] где $d v_{i}$ и $\delta v_{i}$ обозначают изменения скоростей за промежуток времени $d t$ для действительного и какого-либо мыслимого движений; при этом уравнение (1) приводится к виду \[ \Delta Z=0, \quad Z=\frac{1}{2} \sum_{i} \frac{m_{i}}{2}\left(w_{i}-\frac{F_{i}}{m_{i}}\right)^{2}, \] причем $\Delta^{2} Z>0$. Из принципа Гаусса при выражении $Z$ через независимые ускорения системы получаются Аппеля уравнения. Принцип Гаусса представляет собой физич. аналогию предложенному К. Гауссом методу наименьших квадратов теории ошибок. Принцип Гаусса эквивалентен принципу Д'Аламбера - Лагранжа, однако при рассмотрении нелинейных дифференциальных связей вида \[ \varphi_{s}\left(t, r_{i}, \dot{r}_{i}\right)=0 \] эти принципы по П. Аппелю (P. Appell) и Э. Делассю (E. Delassus, 1911-13) оказались несовместимыми. Этот вопрос был разрешен Н. Г. Четаевым (1932-33), предложившим определять возможные перемещения для нелинейных связей условиями вида \[ \sum_{i} \operatorname{grad} r_{i} \varphi_{s} \cdot \delta r_{i}=0 \] См. также Гаусса принцип наименьшего принуждения, Гаусса принцип наименьших реакций. К принципу Гаусса тесно примыкает принцип прямейшего пути (принцип Герца), постулированный Г. Герцем (G. Hertz, 1894) в качестве основного закона разработанной им механики, в к-рой, в отличие от механики Ньютона, вместо понятия силы введены представления о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях. Принцип Герца эквивалентен принципу Гаусса для систем, стесненных стационарными связями и не подверженных действию активных сил (см. Герца принцип прямейшего пути). Н. Г. Четаев (1941) предложил видоизменение принципа Гаусса (см. Четаева принцип максимума работы). Изложенные принципы по способам варьирования подразделяются на две группы: в принципах возможных перемещений и Д'Аламбера - Лагранжа варьируется в нек-рый момент времени положение $r_{i}$ системы, а в принципах Гаусса, Герца и Четаева варьируются ускорения $\ddot{r}_{i}$ системы при постоянных $r_{i}$ и $\dot{r}_{i}$. Промежуточное место между этими двумя группами занимает принцип Журдена, в к-ром в момент $t$ варьируются скорости $\dot{r}_{i}$ при постоянных $r_{i}$. В момент $t+d t$ возможные перемещения $\delta \dot{r}_{i}=\delta \ddot{r}_{i} d t$, и уравнение (1) принимает вид: \[ \sum_{i}\left(F_{i}-m_{i} w_{i}\right) \cdot \delta \dot{r}_{i}=0 . \] В интегральных В. п. к. м. сравнение действительного и кинематически возможных движений производится для конечных промежутков времени. Именно, сравниваются значения нек-рых определенных интегралов (называемых действием), вычисляемых для действительного и кинематически возможных движений, удовлетворяющих определенным условиям, между нек-рыми двумя конечными положениями системы. Интегральные В. п. к. м. менее общи по сравнению с дифференциальными принципами и применимы главным образом к голономным системам, находящимся под действием потенциальных сил. Наиболее общим из них является принцип, установленный У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834-35) для случая стационарных голономных связей и обобщенный М. В. Остроградским (1848) на нестационарные геометрич. связи (см. Гамильтона-Остроградского принцип стационарного действия). Если уравнения геометрич. связей представить в виде \[ r_{i}=r_{i}\left(t, q_{1}, \ldots, q_{n}\right), \quad n=3 N-k \] где $k$ - число связей, и ввести Лагранжа функцию \[ L\left(t, q_{i}, \dot{q}_{i}\right)=T+U, \] то действие \[ S=\int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t \] При этом в расширенном $(n+1)$-мерном координатном пространстве $\left(t, q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ равенство \[ \delta S=0 \] соответствует обычной (непараметрической) задаче вариационного исчисления при закрепленных концах. В $(2 n+1)$-мерном расширенном фазовом пространстве с ко- ординатами $t, q_{i}, p_{i}=\partial L / \partial \dot{q}_{i}$ равенство (3) соответствует вариационной задаче со свободными концами $\left(t_{0}, t_{1}\right.$ и $q_{i}-$ фиксированы, $p_{i}-$ свободны), причем \[ S=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum_{i=1}^{n} p_{i} \dot{q}_{i}-H\right) d t, \] где \[ H\left(t, q_{i}, p_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}-L \] - Гамильтона функция. Из уравнения (3) выводятся Лагранжа уравнения: \[ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0, \quad i=1, \ldots, n, \] и канонич. Гамильтона уравнения: \[ \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad i=1, \ldots, n . \] Для решения основной задачи динамики достаточно знания функции действия \[ v\left(t, q_{i}, q_{i 0}\right)=\int_{t_{0}}^{t} L d t . \] Однако для определения функции действия по формуле (5) необходимо знание закона движения. Чтобы обойти эту трудность, У. Гамильтон нашел дифференциальное уравнение \[ \frac{\partial v}{\partial t}+H\left(t, q_{i}, \frac{\partial v}{\partial q_{i}}\right)=0, \] к-рому удовлетворяет функция действия. К. Якоби (C. Jacobi, 1837) показал, что если известен полный интеграл $v\left(t, q_{i}, \alpha_{i}\right)$ уравнения (6), зависяший от $n$ произвольных постоянных $\alpha_{i}$, из к-рых ни одна не является аддитивной, то общее решение уравнений (4) дается равенствами: \[ p_{i}=\frac{\partial v}{\partial q_{i}}, \quad \beta_{i}=\frac{\partial v}{\partial \alpha_{i}}, \quad i=1, \ldots, n, \] где $\beta_{i}$ - произвольные постоянные. Для систем, стесненных стационарными связями и находящихся под действием потенциальных сил, не зависящих явно от времени, существует интеграл энергии \[ E=T-U=h . \] Его существование позволяет ограничить множество сравниваемых кинематически возможных движений, переводящих систему из положения $P_{0}$ в положение $P_{1}$, движениями, при к-рых полная механич. энергия $E$ имеет одно и то же фиксированное значение $h$. В этом случае интеграл (7) можно рассматривать как неголономное условие и искать принцип механики в виде условного вариационного принципа. Эту задачу разрешил Ж. Лагранж (см. Лагранжа принцип стационарного действия). Для рассматриваемых систем исключением времени $t$ с помощью интеграла энергии (5) К. Якоби (1837) получил новый В. п. к. м. (см. Якоби принцип стационарного действия). Уравнения Лагранжа или уравнения экстремалей вариационных принципов Гамильтона - Остроградского, Лагранжа и Якоби являются необходимыми условиями экстремума соответствующего интеграла, или де й с т в и я по Гамильтону, Лагранжу, Якоби. В случаях, когда выполняются достаточные условия минимума, эти интегралы в действительных движениях принимают минимальные значения. Вследствие этого интегральные В. п. к. м. называют также принципами наименьше го действия. Использование интегральных В. п. к. м. естественным образом приводит к понятию обобщенных решений и расширению классов функциональных пространств, в к-рых разыскиваются решения задач математич. физики. В. п. к. м. оказались применимыми не только к дискретным материальным системам, но и к системам с распределенными параметрами, к сплошным средам; они играют \title{ 72 ВАРИАЦИОННЫЕ } важную роль в теории поля и в математич. физике. С В. п. к. м. тесно связаны оптико-механич. аналогия, теория канонич. преобразований, теория групп Ли и законы сохранения. В. п. к. м. обладают большой эвристической ценностью, они распространены и на другие области физики, в частности на теорию относительности и на квантовую и волновую механику, где важную роль играют принципы наименьшего действия и связанные с ними лагранжев формализм и гамильтонов формализм. Лит.: [1] Вариационные принципы механики, сб. статей, М., 1959; [2] Полак Л. С., Вариационные принципы механики, М., 1960; [3] Ланцош К., Вариационные принципы механики, пер. с англ., М., 1965; [4] Новоселов В. С., Вариационные методы в механике, Л., 1966; [5] Парс Л. А., Аналитическая динамика, пер. с англ., М., 1971; [6] Четаев Н. Г., Устойчивость движения. Работы по аналитической механике, М., 1971. В. В. Румянцев.

основные, исходные положения аналитической механики, математически выраженные в форме вариационных соотношений, из которых как логические следствия вытекают дифференциальные уравнения движения, а также все положения и законы механики. В В. п. к. м. действительные движения материальной системы, происходящие под действием заданных сил, сравниваются с кинематически возможными движениями, допускаемыми наложенными на систему связями и удовлетворяющими определенным условиям. В большинстве случаев признаком, по к-рому действительное движение выделяется из рассматриваемого класса кинематически возможных движений, служит условие экстремальности (стационарности) нек-рой скалярной функции или функционала, обеспечивающее инвариантность описания. В. п. к. м. отличаются один от другого как по форме и способам варьирования, так и по общности, но каждый из них, в рамках его приложимости, образует единую основу и как бы синтезирует всю механику соответствующих материальных систем. Иными словами, тот или иной из В. п. к. м. потенциально заключает в себе все содержание этой области науки и объединяет все ее положения в единой формулировке. Классич. механика основывается на законах Ньютона, установленных для свободных материальных точек, и аксиомах связей. Справедливость В. п. к. м. доказывается, исходя из этих законов и аксиом. В свою очередь, любой из В. п. к. м. можно принять за аксиому и из нее логически вывести законы механики. В. п. к. м. по форме подразделяются на дифференциальные и интегральные принципы. К дифференциальным принципам, характеризующим свойства движения для любого данного момента времени, относятся: принцип возможных перемешений, принципы Д'Аламбера - Лагранжа, Гаусса, Герца, Четаева и Журдена. Интегральными принципами, характеризующими свойства движения на любых конечных промежутках времени, являются принципы наименьшего действия в формах Гамильтона - Остроградского, Лагранжа, Якоби и нек-рые другие. Первый из В. п. к. м. - принцип возможных (виртуальных) перемещений, применялся еще Г. Галилеем (G. Galilei, 1665). Первым, кто понял общность этого принципа и его полезность для решения задач статики, был И. Бернулли (J. Bernoulli, 1717). Принцип получил обоснование, существенное развитие и применение в «Аналитической механике» Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1788), считавшего его основным для всей механики. Этот принцип позволяет находить положения равновесия системы материальных точек, то есть такие положения $r_{i}=r_{i}\left(t_{0}\right)$, в к-рых система будет оставаться все время, если она помещена в эти положения с нулевыми начальными скоростями $v_{i}\left(t_{0}\right)=0$ при условии, что $r_{i}\left(t_{0}\right)-$ возможные положения и $v_{i}=0$ - кинематически возможные скорости при любом $t$. Здесь и далее $r_{i}$ - радиус-векторы точек системы относительно начала $O$ инерциальной системы координат $O x y z$, причем $v_{i}=\dot{r}_{i} ; \delta r_{i}-$ возможные (виртуальные) перемещения, допускаемые в данный момент времени наложенными на систему связями, $F_{i}\left(t, r_{j}, \dot{r}_{j}\right) \in C^{1}-$ заданные активные силы, $R_{i}$ - реакции связей. Связи предполагаются идеальными и удерживающими, то есть \[ \sum_{i} R_{i} \delta r_{i}=0 . \] См. также Возможных перемещений принцип . Для вывода уравнений динамики методами статики применяется так наз. принцип Д'Аламбера: если к действующим на точки материальной системы заданным (активным) силам и силам реакций связей присоединить силы инерции - $m_{i} w_{i}$, то такая система сил будет находиться в равновесии. Здесь $m_{i}-$ масса $i$-й точки, $w_{i}=\ddot{r}_{i}-$ ее ускорение. Обобщение принципа Д'Аламбера и принципа возможных перемещений было получено Ж. Лагранжем (1788). Общие теоремы динамики системы характеризуют нек-рые свойства движения, но, в отличие от В. п. к. м., ни одна из них в общем случае не в состоянии заменить всю систему дифференциальных уравнений движения и вполне охарактеризовать движение системы. Принцип Д'Аламбера - Лагранжа является одним из наиболее общих В. п. к. м., справедливым как для голономных, так и для неголономных систем. Все другие В. п. к. м. представляют собой или иные формулировки этого принципа или следствия из него. Принцип Д’Аламбера Лагранжа не связан, однако, с понятием экстремума какой-либо функции. В нем фигурирует бесконечно малая величина - сумма элементарных работ заданных сил и сил инерции на бесконечно малом возможном перемещении из заданной конфигурации, не представляющая собой вариации какой-либо функции, \[ \sum_{i}\left(F_{i}-m_{i} w_{i}\right) \delta r_{i}=0 . \] См. также Д'Аламбера - Лагранжа принцип . К. Гаусс (C. Gauss, 1829) предложил новый вариационный принцип, представляющий собой модификацию принципа Д'Аламбера-Лагранжа (Гаусса принцип). Среди всех кинематически возможных движений рассматриваются мыслимые по Гауссу движения, удовлетворяющие условиям наложенных на систему связей и условиям постоянства $r_{i}$ и $v_{i}$ для рассматриваемого момента времени $t$. В момент $t+d t$ : \[ \delta r_{i}=\frac{1}{2} \Delta w_{i}(d t)^{2}, \quad \Delta w=\frac{\delta v_{i}}{d t}-\frac{d v_{i}}{d t}, \] где $d v_{i}$ и $\delta v_{i}$ обозначают изменения скоростей за промежуток времени $d t$ для действительного и какого-либо мыслимого движений; при этом уравнение (1) приводится к виду \[ \Delta Z=0, \quad Z=\frac{1}{2} \sum_{i} \frac{m_{i}}{2}\left(w_{i}-\frac{F_{i}}{m_{i}}\right)^{2}, \] причем $\Delta^{2} Z>0$. Из принципа Гаусса при выражении $Z$ через независимые ускорения системы получаются Аппеля уравнения. Принцип Гаусса представляет собой физич. аналогию предложенному К. Гауссом методу наименьших квадратов теории ошибок. Принцип Гаусса эквивалентен принципу Д'Аламбера - Лагранжа, однако при рассмотрении нелинейных дифференциальных связей вида \[ \varphi_{s}\left(t, r_{i}, \dot{r}_{i}\right)=0 \] эти принципы по П. Аппелю (P. Appell) и Э. Делассю (E. Delassus, 1911-13) оказались несовместимыми. Этот вопрос был разрешен Н. Г. Четаевым (1932-33), предложившим определять возможные перемещения для нелинейных связей условиями вида \[ \sum_{i} \operatorname{grad} r_{i} \varphi_{s} \cdot \delta r_{i}=0 \] См. также Гаусса принцип наименьшего принуждения, Гаусса принцип наименьших реакций. К принципу Гаусса тесно примыкает принцип прямейшего пути (принцип Герца), постулированный Г. Герцем (G. Hertz, 1894) в качестве основного закона разработанной им механики, в к-рой, в отличие от механики Ньютона, вместо понятия силы введены представления о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях. Принцип Герца эквивалентен принципу Гаусса для систем, стесненных стационарными связями и не подверженных действию активных сил (см. Герца принцип прямейшего пути). Н. Г. Четаев (1941) предложил видоизменение принципа Гаусса (см. Четаева принцип максимума работы). Изложенные принципы по способам варьирования подразделяются на две группы: в принципах возможных перемещений и Д'Аламбера - Лагранжа варьируется в нек-рый момент времени положение $r_{i}$ системы, а в принципах Гаусса, Герца и Четаева варьируются ускорения $\ddot{r}_{i}$ системы при постоянных $r_{i}$ и $\dot{r}_{i}$. Промежуточное место между этими двумя группами занимает принцип Журдена, в к-ром в момент $t$ варьируются скорости $\dot{r}_{i}$ при постоянных $r_{i}$. В момент $t+d t$ возможные перемещения $\delta \dot{r}_{i}=\delta \ddot{r}_{i} d t$, и уравнение (1) принимает вид: \[ \sum_{i}\left(F_{i}-m_{i} w_{i}\right) \cdot \delta \dot{r}_{i}=0 . \] В интегральных В. п. к. м. сравнение действительного и кинематически возможных движений производится для конечных промежутков времени. Именно, сравниваются значения нек-рых определенных интегралов (называемых действием), вычисляемых для действительного и кинематически возможных движений, удовлетворяющих определенным условиям, между нек-рыми двумя конечными положениями системы. Интегральные В. п. к. м. менее общи по сравнению с дифференциальными принципами и применимы главным образом к голономным системам, находящимся под действием потенциальных сил. Наиболее общим из них является принцип, установленный У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834-35) для случая стационарных голономных связей и обобщенный М. В. Остроградским (1848) на нестационарные геометрич. связи (см. Гамильтона-Остроградского принцип стационарного действия). Если уравнения геометрич. связей представить в виде \[ r_{i}=r_{i}\left(t, q_{1}, \ldots, q_{n}\right), \quad n=3 N-k \] где $k$ - число связей, и ввести Лагранжа функцию \[ L\left(t, q_{i}, \dot{q}_{i}\right)=T+U, \] то действие \[ S=\int_{t_{0}}^{t_{1}} L d t \] При этом в расширенном $(n+1)$-мерном координатном пространстве $\left(t, q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ равенство \[ \delta S=0 \] соответствует обычной (непараметрической) задаче вариационного исчисления при закрепленных концах. В $(2 n+1)$-мерном расширенном фазовом пространстве с ко- ординатами $t, q_{i}, p_{i}=\partial L / \partial \dot{q}_{i}$ равенство (3) соответствует вариационной задаче со свободными концами $\left(t_{0}, t_{1}\right.$ и $q_{i}-$ фиксированы, $p_{i}-$ свободны), причем \[ S=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum_{i=1}^{n} p_{i} \dot{q}_{i}-H\right) d t, \] где \[ H\left(t, q_{i}, p_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i}-L \] - Гамильтона функция. Из уравнения (3) выводятся Лагранжа уравнения: \[ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0, \quad i=1, \ldots, n, \] и канонич. Гамильтона уравнения: \[ \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad i=1, \ldots, n . \] Для решения основной задачи динамики достаточно знания функции действия \[ v\left(t, q_{i}, q_{i 0}\right)=\int_{t_{0}}^{t} L d t . \] Однако для определения функции действия по формуле (5) необходимо знание закона движения. Чтобы обойти эту трудность, У. Гамильтон нашел дифференциальное уравнение \[ \frac{\partial v}{\partial t}+H\left(t, q_{i}, \frac{\partial v}{\partial q_{i}}\right)=0, \] к-рому удовлетворяет функция действия. К. Якоби (C. Jacobi, 1837) показал, что если известен полный интеграл $v\left(t, q_{i}, \alpha_{i}\right)$ уравнения (6), зависяший от $n$ произвольных постоянных $\alpha_{i}$, из к-рых ни одна не является аддитивной, то общее решение уравнений (4) дается равенствами: \[ p_{i}=\frac{\partial v}{\partial q_{i}}, \quad \beta_{i}=\frac{\partial v}{\partial \alpha_{i}}, \quad i=1, \ldots, n, \] где $\beta_{i}$ - произвольные постоянные. Для систем, стесненных стационарными связями и находящихся под действием потенциальных сил, не зависящих явно от времени, существует интеграл энергии \[ E=T-U=h . \] Его существование позволяет ограничить множество сравниваемых кинематически возможных движений, переводящих систему из положения $P_{0}$ в положение $P_{1}$, движениями, при к-рых полная механич. энергия $E$ имеет одно и то же фиксированное значение $h$. В этом случае интеграл (7) можно рассматривать как неголономное условие и искать принцип механики в виде условного вариационного принципа. Эту задачу разрешил Ж. Лагранж (см. Лагранжа принцип стационарного действия). Для рассматриваемых систем исключением времени $t$ с помощью интеграла энергии (5) К. Якоби (1837) получил новый В. п. к. м. (см. Якоби принцип стационарного действия). Уравнения Лагранжа или уравнения экстремалей вариационных принципов Гамильтона - Остроградского, Лагранжа и Якоби являются необходимыми условиями экстремума соответствующего интеграла, или де й с т в и я по Гамильтону, Лагранжу, Якоби. В случаях, когда выполняются достаточные условия минимума, эти интегралы в действительных движениях принимают минимальные значения. Вследствие этого интегральные В. п. к. м. называют также принципами наименьше го действия. Использование интегральных В. п. к. м. естественным образом приводит к понятию обобщенных решений и расширению классов функциональных пространств, в к-рых разыскиваются решения задач математич. физики. В. п. к. м. оказались применимыми не только к дискретным материальным системам, но и к системам с распределенными параметрами, к сплошным средам; они играют \title{ 72 ВАРИАЦИОННЫЕ } важную роль в теории поля и в математич. физике. С В. п. к. м. тесно связаны оптико-механич. аналогия, теория канонич. преобразований, теория групп Ли и законы сохранения. В. п. к. м. обладают большой эвристической ценностью, они распространены и на другие области физики, в частности на теорию относительности и на квантовую и волновую механику, где важную роль играют принципы наименьшего действия и связанные с ними лагранжев формализм и гамильтонов формализм. Лит.: [1] Вариационные принципы механики, сб. статей, М., 1959; [2] Полак Л. С., Вариационные принципы механики, М., 1960; [3] Ланцош К., Вариационные принципы механики, пер. с англ., М., 1965; [4] Новоселов В. С., Вариационные методы в механике, Л., 1966; [5] Парс Л. А., Аналитическая динамика, пер. с англ., М., 1971; [6] Четаев Н. Г., Устойчивость движения. Работы по аналитической механике, М., 1971. В. В. Румянцев.