УСЛОВНОЕ ОЖИДАНИЕ В ТЕОРИИ ОПЕРАТОРНЫХ АЛГЕБР

проектор $C^{*}$-алгебры $\mathscr{A}$ на ее $C^{*}$-подалгебру $\mathscr{B}$, положительный и $\Re$-линейный, то есть линейное отображение $\varepsilon: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B}$ такое, что: 1) $\varepsilon(b)=b, b \in \mathscr{B}$ 2) $\varepsilon\left(\mathscr{A}_{+}\right) \subset \mathscr{B}_{+}$, где $\cdot \|_{+}=\left\{a \in \mathscr{M}: a=c^{*} c, c \in \mathscr{\|}\right\}$ - конус положительных элементов ${ }^{*}$-алгебры $\boldsymbol{\mu}$, 3) $\varepsilon(a b)=\varepsilon(a) b, \varepsilon(b a)=b \varepsilon(a)$ для $a \in \mathscr{A}, b \in \mathscr{B}$. У.о. - вполне положительный проектор нормы 1 и если $d$ имеет единицу $\mathbb{1}$, то $\varepsilon(\mathbb{1})$ - единица для $\mathscr{B}$ (см. [1]). Каждый проектор $(\varepsilon) \mathrm{c}\|\varepsilon\|=1 C^{*}$-алгебры $\mathscr{A}$ на $C^{*}$-подалгебру $\mathscr{B}$ есть У.о. (см. [2]). У.о. называется точным, если $\varepsilon\left(a^{*} a\right)=0$ влечет $a=0$. Пусть далее $\mathscr{A} \supset \mathscr{B}$ - алгебры Неймана. У.о. $\varepsilon: \mathscr{A} \rightarrow \mathcal{B}$, непрерывное в $w^{*}$-топологии, называется нормальным. Для абелевой $\mathscr{A}$ с точным нормальным состоянием $\varphi$ и ее подалгебры $\mathscr{B}$ существует единственное такое точное нормальное У.о. $\varepsilon: d \rightarrow \mathscr{B}$, что $\varphi$ инвариантно $(\varphi \circ \varepsilon=\varphi)$. Для неабелевой $d$ такое $\varepsilon$, оставляющее $\varphi$ инвариантным, существует тогда и только тогда, когда модулярные автоморфизмы $\sigma_{t}^{\varphi}$, ассоциированные с $\varphi$, переводят подалгебру $\mathscr{B}$ в себя (см. [3], [4]). Эта неполная аналогия с коммутативным случаем (с теорией вероятностей) мотивировала модификацию понятия У. о. (см. [5]). Лит.: [1] Stratila Ş., Modular theory in operator algebras, Buc., 1981; [2] Tomiyama J., «Proc. Japan Acad.», 1957, v. 33, p. 608-12; [3] Takesaki M., «J. Funct. Anal.», 1972, v. 9, p. 306-21; [4] Голодец В. Я., «Функциональный анализ и его прилож.», 1972, т. 6, c. 68-69; [5] Accardi L., Cecchini C., «J. Funct. Anal.», 1982, v. 45, p. $245-73$. А. В. Булинский.

проектор $C^{*}$-алгебры $\mathscr{A}$ на ее $C^{*}$-подалгебру $\mathscr{B}$, положительный и $\Re$-линейный, то есть линейное отображение $\varepsilon: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B}$ такое, что: 1) $\varepsilon(b)=b, b \in \mathscr{B}$ 2) $\varepsilon\left(\mathscr{A}_{+}\right) \subset \mathscr{B}_{+}$, где $\cdot \|_{+}=\left\{a \in \mathscr{M}: a=c^{*} c, c \in \mathscr{\|}\right\}$ - конус положительных элементов ${ }^{*}$-алгебры $\boldsymbol{\mu}$, 3) $\varepsilon(a b)=\varepsilon(a) b, \varepsilon(b a)=b \varepsilon(a)$ для $a \in \mathscr{A}, b \in \mathscr{B}$. У.о. - вполне положительный проектор нормы 1 и если $d$ имеет единицу $\mathbb{1}$, то $\varepsilon(\mathbb{1})$ - единица для $\mathscr{B}$ (см. [1]). Каждый проектор $(\varepsilon) \mathrm{c}\|\varepsilon\|=1 C^{*}$-алгебры $\mathscr{A}$ на $C^{*}$-подалгебру $\mathscr{B}$ есть У.о. (см. [2]). У.о. называется точным, если $\varepsilon\left(a^{*} a\right)=0$ влечет $a=0$. Пусть далее $\mathscr{A} \supset \mathscr{B}$ - алгебры Неймана. У.о. $\varepsilon: \mathscr{A} \rightarrow \mathcal{B}$, непрерывное в $w^{*}$-топологии, называется нормальным. Для абелевой $\mathscr{A}$ с точным нормальным состоянием $\varphi$ и ее подалгебры $\mathscr{B}$ существует единственное такое точное нормальное У.о. $\varepsilon: d \rightarrow \mathscr{B}$, что $\varphi$ инвариантно $(\varphi \circ \varepsilon=\varphi)$. Для неабелевой $d$ такое $\varepsilon$, оставляющее $\varphi$ инвариантным, существует тогда и только тогда, когда модулярные автоморфизмы $\sigma_{t}^{\varphi}$, ассоциированные с $\varphi$, переводят подалгебру $\mathscr{B}$ в себя (см. [3], [4]). Эта неполная аналогия с коммутативным случаем (с теорией вероятностей) мотивировала модификацию понятия У. о. (см. [5]). Лит.: [1] Stratila Ş., Modular theory in operator algebras, Buc., 1981; [2] Tomiyama J., «Proc. Japan Acad.», 1957, v. 33, p. 608-12; [3] Takesaki M., «J. Funct. Anal.», 1972, v. 9, p. 306-21; [4] Голодец В. Я., «Функциональный анализ и его прилож.», 1972, т. 6, c. 68-69; [5] Accardi L., Cecchini C., «J. Funct. Anal.», 1982, v. 45, p. $245-73$. А. В. Булинский.