ФАДДЕЕВА УРАВНЕНИЯ

интегральные уравнения для компонент T-матрицы оператора энергии системы трех частиц. $T$-матрица $T(z)$ определяется через резольвенту \[ R(z)=(H-z)^{-1} \] оператора энергии системы трех частиц \[ \begin{gathered} H=H_{0}+\sum_{\alpha=1}^{3} v_{\alpha}\left(x_{\alpha}\right), \\ H_{0}=-\Delta_{x_{\alpha}}-\Delta_{y_{\alpha}}, \end{gathered} \] где $x_{\alpha}, y_{\alpha}-$ набор приведенных Якоби координат, $v_{\alpha}-$ короткодействующие потенциалы взаимодействия частиц пары $\alpha$, формулой \[ T(z)=V-V R(z) V, \quad V=\sum_{\alpha=1}^{3} v_{\alpha} . \] Оператор $T(z)$ удовлетворяет уравнению теории возмущений \[ T(z)=V-V R_{0}(z) T(z) \] где \[ R_{0}(z)=\left(H_{0}-z\right)^{-1} \text {. } \] Ядро интегрального уравнения (1) является несвязным [рассмотрим, напр., оператор $V_{1} R_{0}(z)$; после преобразования Фурье он имеет ядро $v_{1}\left(k_{1}-k_{1}^{\prime}\right) \delta\left(p_{1}-p_{1}^{\prime}\right)\left(k_{1}^{\prime 2}+p_{1}^{\prime 2}-z\right)^{-1}$, содержащее $\delta$-функцию, причем эта особенность не пропадает при итерациях уравнения (1)]. По этой причине уравнение (1) является нефредгольмовым. Перестройка уравнения (1), приводящая к фредгольмовым уравнениям, была предложена Л. Д. Фаддеевым в 1960. Рассматриваются компоненты $T$-матрицы- \[ M_{\alpha \beta}(z)=V_{\alpha} \delta_{\alpha \beta}-V_{\alpha} R(z) V_{\beta} . \] $T$-матрица выражается через операторы $M_{\alpha \beta}$ формулой \[ T(z)=\sum_{\alpha, \beta=1}^{3} M_{\alpha \beta}(z) . \] Операторы $M_{\alpha \beta}(z)$ удовлетворяют системе уравнений \[ M_{\alpha \beta}(z)=V_{\alpha} \delta_{\alpha \beta}-V_{\alpha} R_{0}(z) \sum_{\gamma} M_{\gamma \beta}(z), \] ядро к-рой по-прежнему является несвязным. Чтобы получить фредгольмовы уравнения, преобразуем (2) к виду: \[ \left[I+V_{\alpha} R_{0}(z)\right] M_{\alpha \beta}(z)=V_{\alpha} \delta_{\alpha \beta}-V_{\alpha} R_{0}(z) \sum_{\gamma \neq \alpha} M_{\gamma \beta}(z) . \] Обращая оператор $I+V_{\alpha} R_{0}(z)$, получим уравнения \[ M_{\alpha \beta}(z)=T_{\alpha}(z) \delta_{\alpha \beta}-T_{\alpha}(z) R_{0}(z) \sum_{\gamma \neq \alpha} M_{\gamma \beta}(z), \] где через $T_{\alpha}(z)$ обозначен оператор $\left[I+V_{\alpha} R_{0}(z)\right]^{-1} V_{\alpha}$. Оператор $T_{\alpha}(z)$ тесно связан с $T$-матрицей двухчастичного оператора энергии для пары частиц $\alpha$: \[ h_{\alpha}=-\Delta_{x_{\alpha}}+v_{\alpha}\left(x_{\alpha}\right) \] Ядро оператора $T_{\alpha}(z)$ после перехода к преобразованию Фурье представляется в виде \[ T_{\alpha}\left(k_{\alpha}, p_{\alpha}, k_{\alpha}^{\prime}, p_{\alpha}^{\prime}, z\right)=t_{\alpha}\left(k_{\alpha}, k_{\alpha}^{\prime}, z-p_{\alpha}^{2}\right) \delta\left(p_{\alpha}-p_{\alpha}^{\prime}\right), \] где $t_{\alpha}\left(k_{\alpha}, k_{\alpha}^{\prime}, \lambda\right)$ - ядро $T$-матрицы оператора $h_{\alpha}$. Система уравнений (4) и представляет собой уравнения Фаддеева, к-рые свободны от недостатков уравнения (1), так как уже квадрат ядра системы (4), содержащий операторы вида: \[ T_{\alpha}(z) R_{0}(z) T_{\beta}(z) R_{0}(z) \] при $\alpha \neq \beta$, является связным оператором. Это свойство в конечном итоге обеспечивает фредгольмовость уравнений (4). Кроме фредгольмовости, система уравнений Фаддеева обладает еще одним свойством, выделяющим ее из других возможных модификаций уравнения теории возмущений (1). А именно, однородная система уравнений (4) эквивалентна уравнению Шредингера: если $\Phi_{\alpha}$ - решение уравнений \[ \Phi_{\alpha}=-T_{\alpha}(z) R_{0}(z) \sum_{\gamma \neq \alpha} \Phi_{\gamma}, \] то функция \[ \Psi=R_{0}(z) \sum_{\gamma} \Phi_{\gamma} \] удовлетворяет уравнению Шредингера \[ \left(H_{0}+\sum_{\alpha} v_{\alpha}\right) \Psi=z \Psi, \] к-рое в силу самосопряженности оператора \[ H=H_{0}+\sum_{\alpha} v_{\alpha} \] может иметь решения только при действительных $z$, то есть однородные уравнения (5) имеют решения только при действительных $z$, совпадающих с точками дискретного спектра оператора $H$, а неоднородные уравнения (4) однозначно разрешимы при всех $z$, не совпадающих с точками дискретного спектра.

интегральные уравнения для компонент T-матрицы оператора энергии системы трех частиц. $T$-матрица $T(z)$ определяется через резольвенту \[ R(z)=(H-z)^{-1} \] оператора энергии системы трех частиц \[ \begin{gathered} H=H_{0}+\sum_{\alpha=1}^{3} v_{\alpha}\left(x_{\alpha}\right), \\ H_{0}=-\Delta_{x_{\alpha}}-\Delta_{y_{\alpha}}, \end{gathered} \] где $x_{\alpha}, y_{\alpha}-$ набор приведенных Якоби координат, $v_{\alpha}-$ короткодействующие потенциалы взаимодействия частиц пары $\alpha$, формулой \[ T(z)=V-V R(z) V, \quad V=\sum_{\alpha=1}^{3} v_{\alpha} . \] Оператор $T(z)$ удовлетворяет уравнению теории возмущений \[ T(z)=V-V R_{0}(z) T(z) \] где \[ R_{0}(z)=\left(H_{0}-z\right)^{-1} \text {. } \] Ядро интегрального уравнения (1) является несвязным [рассмотрим, напр., оператор $V_{1} R_{0}(z)$; после преобразования Фурье он имеет ядро $v_{1}\left(k_{1}-k_{1}^{\prime}\right) \delta\left(p_{1}-p_{1}^{\prime}\right)\left(k_{1}^{\prime 2}+p_{1}^{\prime 2}-z\right)^{-1}$, содержащее $\delta$-функцию, причем эта особенность не пропадает при итерациях уравнения (1)]. По этой причине уравнение (1) является нефредгольмовым. Перестройка уравнения (1), приводящая к фредгольмовым уравнениям, была предложена Л. Д. Фаддеевым в 1960. Рассматриваются компоненты $T$-матрицы- \[ M_{\alpha \beta}(z)=V_{\alpha} \delta_{\alpha \beta}-V_{\alpha} R(z) V_{\beta} . \] $T$-матрица выражается через операторы $M_{\alpha \beta}$ формулой \[ T(z)=\sum_{\alpha, \beta=1}^{3} M_{\alpha \beta}(z) . \] Операторы $M_{\alpha \beta}(z)$ удовлетворяют системе уравнений \[ M_{\alpha \beta}(z)=V_{\alpha} \delta_{\alpha \beta}-V_{\alpha} R_{0}(z) \sum_{\gamma} M_{\gamma \beta}(z), \] ядро к-рой по-прежнему является несвязным. Чтобы получить фредгольмовы уравнения, преобразуем (2) к виду: \[ \left[I+V_{\alpha} R_{0}(z)\right] M_{\alpha \beta}(z)=V_{\alpha} \delta_{\alpha \beta}-V_{\alpha} R_{0}(z) \sum_{\gamma \neq \alpha} M_{\gamma \beta}(z) . \] Обращая оператор $I+V_{\alpha} R_{0}(z)$, получим уравнения \[ M_{\alpha \beta}(z)=T_{\alpha}(z) \delta_{\alpha \beta}-T_{\alpha}(z) R_{0}(z) \sum_{\gamma \neq \alpha} M_{\gamma \beta}(z), \] где через $T_{\alpha}(z)$ обозначен оператор $\left[I+V_{\alpha} R_{0}(z)\right]^{-1} V_{\alpha}$. Оператор $T_{\alpha}(z)$ тесно связан с $T$-матрицей двухчастичного оператора энергии для пары частиц $\alpha$: \[ h_{\alpha}=-\Delta_{x_{\alpha}}+v_{\alpha}\left(x_{\alpha}\right) \] Ядро оператора $T_{\alpha}(z)$ после перехода к преобразованию Фурье представляется в виде \[ T_{\alpha}\left(k_{\alpha}, p_{\alpha}, k_{\alpha}^{\prime}, p_{\alpha}^{\prime}, z\right)=t_{\alpha}\left(k_{\alpha}, k_{\alpha}^{\prime}, z-p_{\alpha}^{2}\right) \delta\left(p_{\alpha}-p_{\alpha}^{\prime}\right), \] где $t_{\alpha}\left(k_{\alpha}, k_{\alpha}^{\prime}, \lambda\right)$ - ядро $T$-матрицы оператора $h_{\alpha}$. Система уравнений (4) и представляет собой уравнения Фаддеева, к-рые свободны от недостатков уравнения (1), так как уже квадрат ядра системы (4), содержащий операторы вида: \[ T_{\alpha}(z) R_{0}(z) T_{\beta}(z) R_{0}(z) \] при $\alpha \neq \beta$, является связным оператором. Это свойство в конечном итоге обеспечивает фредгольмовость уравнений (4). Кроме фредгольмовости, система уравнений Фаддеева обладает еще одним свойством, выделяющим ее из других возможных модификаций уравнения теории возмущений (1). А именно, однородная система уравнений (4) эквивалентна уравнению Шредингера: если $\Phi_{\alpha}$ - решение уравнений \[ \Phi_{\alpha}=-T_{\alpha}(z) R_{0}(z) \sum_{\gamma \neq \alpha} \Phi_{\gamma}, \] то функция \[ \Psi=R_{0}(z) \sum_{\gamma} \Phi_{\gamma} \] удовлетворяет уравнению Шредингера \[ \left(H_{0}+\sum_{\alpha} v_{\alpha}\right) \Psi=z \Psi, \] к-рое в силу самосопряженности оператора \[ H=H_{0}+\sum_{\alpha} v_{\alpha} \] может иметь решения только при действительных $z$, то есть однородные уравнения (5) имеют решения только при действительных $z$, совпадающих с точками дискретного спектра оператора $H$, а неоднородные уравнения (4) однозначно разрешимы при всех $z$, не совпадающих с точками дискретного спектра.