ВЕБЕРА УРАВНЕНИЕ

линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка \[ y^{\prime \prime}+\left(\mathrm{v}+\frac{1}{2}-\frac{x^{2}}{4}\right) y=0, \quad \mathrm{v}=\mathrm{const} \] точка $x=\infty$ является для него сильно особой точкой. Уравнение этого вида впервые было рассмотрено Г. Вебером [1] в теории потенциала в связи с параболич. цилиндром; оно возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в параболич. координатах. Замена $y=u \exp \left(-x^{2} / 4\right)$ приводит В. у. к виду \[ u^{\prime \prime}-x u^{\prime}+v u=0 . \] Решения уравнения $\left(^{*}\right)$ называются функциями параболического цилиндра, или функциями Вебера-Эрмита. В частности, если v - целое неотрицательное число, то уравнению $\left({ }^{*}\right)$ удовлетворяет функция \[ y=\exp \left(-x^{2} / 4\right) H_{v}(x) \] где $H_{v}(x)$ - Эрмита многочлен. Лит.: [1] Weber H., «Math. Ann.», 1869, Bd 1, S. 1-36; [2] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [3] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [4] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968. Н. Х. Розов.

линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка \[ y^{\prime \prime}+\left(\mathrm{v}+\frac{1}{2}-\frac{x^{2}}{4}\right) y=0, \quad \mathrm{v}=\mathrm{const} \] точка $x=\infty$ является для него сильно особой точкой. Уравнение этого вида впервые было рассмотрено Г. Вебером [1] в теории потенциала в связи с параболич. цилиндром; оно возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в параболич. координатах. Замена $y=u \exp \left(-x^{2} / 4\right)$ приводит В. у. к виду \[ u^{\prime \prime}-x u^{\prime}+v u=0 . \] Решения уравнения $\left(^{*}\right)$ называются функциями параболического цилиндра, или функциями Вебера-Эрмита. В частности, если v - целое неотрицательное число, то уравнению $\left({ }^{*}\right)$ удовлетворяет функция \[ y=\exp \left(-x^{2} / 4\right) H_{v}(x) \] где $H_{v}(x)$ - Эрмита многочлен. Лит.: [1] Weber H., «Math. Ann.», 1869, Bd 1, S. 1-36; [2] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [3] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [4] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968. Н. Х. Розов.