ФУРЬЕ РЯД ФУНКЦИИ $f(x)$ ПО ОРТОНОРМИРОВАННОЙ НА ПРОМЕЖУТКЕ $(a, b)$ СИСТЕМЕ ФУНКЦИЙ $\left\{\varphi_{k}(x)\right\}$

ряд \[ \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} \varphi_{k}(x) \] коэффициенты (так наз. коэффициенты Фурье функции $f$) которого определяются по формулам \[ c_{k}=\int_{a}^{b} f(x) \varphi_{k}(x) d x, \quad k=0,1,2, \ldots \] О функции $f$ в общем случае предполагается, что она интегрируема с квадратом на $(a, b)$. Аналогично строятся $\Phi$. p. для функций многих переменных. Ф.р. по ортонормированным системам возникли как обобщение Ф. р. по тригонометрич. системе, к-рые были первыми примерами Ф. p. Дальнейшие обобщения приводят к Ф. р. в гильбертовом пространстве. Ф. р. по тригонометрич. системе определяется для каждой функции $f$, интегрируемой на $(0,2 \pi)$. Это ряд \[ \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right) \] с коэффициентами \[ a_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \cos k x d x, \quad b_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin k x d x . \] Теория Ф. р. по тригонометрич. системе разработана наиболее глубоко. Имея в виду Ф. р. по тригонометрич. системе, обычно говорят просто о Ф.р., не указывая, по какой системе они строятся. Ф. р. составляют значительную часть теории тригонометрич. рядов. Впервые Ф. р. появились в работах Ж. Фурье (J. Fourier, 1807), посвященных исследованию задач теплопроводности. Он предложил для представления функции $f$, заданной на $(0,2 \pi)$ тригонометрич. рядом, брать ряд (1) с коэффициентами (2). Выбор коэффициентов (2) является естественным со многих точек зрения. Напр., если формально приравнять ряд (1) функции $f(x)$, то почленное интегрирование приводит к коэффициентам $a_{k}, b_{k}$, определяемым по формулам (2). Так их получал еще Л. Эйлер (L. Euler, 1777). Интеграл в (2) можно понимать по-разному, напр. как интеграл Римана или Лебега. В зависимости от этого говорят о рядах Фурье - Римана, Фурье - Лебега и т. п. Современный вид теория Ф. р. приобрела после построения интеграла Лебега, после чего она развивается, главным образом, как теория рядов Фурье - Лебега. В теории Ф. р. исследуются вопросы представления функций с помощью Ф. р., изучается связь свойств функции со свойствами ее Ф.p. К работе Ф. Бесселя (F. Bessel, 1828) восходит доказательство минимального свойства частных сумм Ф. р.: для функций $f \in L^{2}$ среди тригонометрич. полиномов $t_{n}(x)$ порядка $n$ наименьшее значение интегралу \[ \int_{0}^{2 \pi}\left[f(x)-t_{n}(x)\right]^{2} d x \] доставляет частная сумма Ф. р. функции $f$. Если $f \in L^{2}$, то справедливо равенство Парсеваля \[ \frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\right)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f^{2}(x) d x, \] где $a_{k}, b_{k}-$ коэффициенты Фурье функции $f$. Это означает, что для каждой функции $f \in L^{2}$ ее Ф. р. сходится к ней в метрике $L^{2}$. Коэффициенты Фурье каждой интегрируемой функции стремятся к нулю. Скорость стремления увеличивается, если функция обладает лучшими свойствами. Напр., если $f$ абсолютно непрерывна, то Ф. р. производной $f^{\prime}$ можно получить почленным дифференцированием Ф. р. функции $f$ и для коэффициентов Фурье функции $f$ справедлива оценка $a_{k}, b_{k}=o\left(k^{-1}\right)$ при $k \rightarrow \infty$. Теория Ф. p. для функций многих переменных разработана в меньшей степени. Пусть $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)$ - точка $N$-мерного пространства, $k=\left(k_{1}, \ldots, k_{N}\right)-N$-мерный вектор с целочисленными координатами и $(k, x)=k_{1} x_{1}+\ldots+k_{N} x_{N}$. Для функции $f(x)$ периода $2 \pi$ по каждой переменной, интегрируемой на $N$-мерном кубе $[0,2 \pi]^{N}, \Phi$. р. (в комплексной форме) по тригонометрич. системе называется ряд \[ \sum_{k} c_{k} e^{i(k, x)} \] где суммирование ведется по всем $k$ и \[ c_{k}=\frac{1}{(2 \pi)^{N}} \int_{0}^{2 \pi} \cdots \int_{0}^{2 \pi} f(x) e^{-i(k, x)} d x \] - коэффициенты Фурье функции $f$. Возможны различные определения частных сумм ряда (3), напр. по прямоугольникам \[ \sum_{\left|k_{1}\right| \leqslant n_{1}, \ldots,\left|k_{N}\right| \leqslant n_{N}} c_{k} e^{i(k, x)} \] или по кругам \[ \sum_{|k| \leqslant n} e^{i(k, x)}, \] где $n-$ радиус и $|k|=\sqrt{k_{1}^{2}+\ldots+k_{N}^{2}}$.

ряд \[ \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} \varphi_{k}(x) \] коэффициенты (так наз. коэффициенты Фурье функции $f$) которого определяются по формулам \[ c_{k}=\int_{a}^{b} f(x) \varphi_{k}(x) d x, \quad k=0,1,2, \ldots \] О функции $f$ в общем случае предполагается, что она интегрируема с квадратом на $(a, b)$. Аналогично строятся $\Phi$. p. для функций многих переменных. Ф.р. по ортонормированным системам возникли как обобщение Ф. р. по тригонометрич. системе, к-рые были первыми примерами Ф. p. Дальнейшие обобщения приводят к Ф. р. в гильбертовом пространстве. Ф. р. по тригонометрич. системе определяется для каждой функции $f$, интегрируемой на $(0,2 \pi)$. Это ряд \[ \frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x\right) \] с коэффициентами \[ a_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \cos k x d x, \quad b_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin k x d x . \] Теория Ф. р. по тригонометрич. системе разработана наиболее глубоко. Имея в виду Ф. р. по тригонометрич. системе, обычно говорят просто о Ф.р., не указывая, по какой системе они строятся. Ф. р. составляют значительную часть теории тригонометрич. рядов. Впервые Ф. р. появились в работах Ж. Фурье (J. Fourier, 1807), посвященных исследованию задач теплопроводности. Он предложил для представления функции $f$, заданной на $(0,2 \pi)$ тригонометрич. рядом, брать ряд (1) с коэффициентами (2). Выбор коэффициентов (2) является естественным со многих точек зрения. Напр., если формально приравнять ряд (1) функции $f(x)$, то почленное интегрирование приводит к коэффициентам $a_{k}, b_{k}$, определяемым по формулам (2). Так их получал еще Л. Эйлер (L. Euler, 1777). Интеграл в (2) можно понимать по-разному, напр. как интеграл Римана или Лебега. В зависимости от этого говорят о рядах Фурье - Римана, Фурье - Лебега и т. п. Современный вид теория Ф. р. приобрела после построения интеграла Лебега, после чего она развивается, главным образом, как теория рядов Фурье - Лебега. В теории Ф. р. исследуются вопросы представления функций с помощью Ф. р., изучается связь свойств функции со свойствами ее Ф.p. К работе Ф. Бесселя (F. Bessel, 1828) восходит доказательство минимального свойства частных сумм Ф. р.: для функций $f \in L^{2}$ среди тригонометрич. полиномов $t_{n}(x)$ порядка $n$ наименьшее значение интегралу \[ \int_{0}^{2 \pi}\left[f(x)-t_{n}(x)\right]^{2} d x \] доставляет частная сумма Ф. р. функции $f$. Если $f \in L^{2}$, то справедливо равенство Парсеваля \[ \frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\right)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f^{2}(x) d x, \] где $a_{k}, b_{k}-$ коэффициенты Фурье функции $f$. Это означает, что для каждой функции $f \in L^{2}$ ее Ф. р. сходится к ней в метрике $L^{2}$. Коэффициенты Фурье каждой интегрируемой функции стремятся к нулю. Скорость стремления увеличивается, если функция обладает лучшими свойствами. Напр., если $f$ абсолютно непрерывна, то Ф. р. производной $f^{\prime}$ можно получить почленным дифференцированием Ф. р. функции $f$ и для коэффициентов Фурье функции $f$ справедлива оценка $a_{k}, b_{k}=o\left(k^{-1}\right)$ при $k \rightarrow \infty$. Теория Ф. p. для функций многих переменных разработана в меньшей степени. Пусть $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{N}\right)$ - точка $N$-мерного пространства, $k=\left(k_{1}, \ldots, k_{N}\right)-N$-мерный вектор с целочисленными координатами и $(k, x)=k_{1} x_{1}+\ldots+k_{N} x_{N}$. Для функции $f(x)$ периода $2 \pi$ по каждой переменной, интегрируемой на $N$-мерном кубе $[0,2 \pi]^{N}, \Phi$. р. (в комплексной форме) по тригонометрич. системе называется ряд \[ \sum_{k} c_{k} e^{i(k, x)} \] где суммирование ведется по всем $k$ и \[ c_{k}=\frac{1}{(2 \pi)^{N}} \int_{0}^{2 \pi} \cdots \int_{0}^{2 \pi} f(x) e^{-i(k, x)} d x \] - коэффициенты Фурье функции $f$. Возможны различные определения частных сумм ряда (3), напр. по прямоугольникам \[ \sum_{\left|k_{1}\right| \leqslant n_{1}, \ldots,\left|k_{N}\right| \leqslant n_{N}} c_{k} e^{i(k, x)} \] или по кругам \[ \sum_{|k| \leqslant n} e^{i(k, x)}, \] где $n-$ радиус и $|k|=\sqrt{k_{1}^{2}+\ldots+k_{N}^{2}}$.