ВЕЙЛЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

формула, описывающая распределение собственных значений дифференциального оператора. На компактном $n$-мерном многообразии $G$ с $(n-1)$-мерным краем $\Gamma$ рассматривается регулярно эллиптич. самосопряженная полуограниченная снизу задача на собственные значения для системы $s$ линейных дифференциальных уравнений \[ A u=\lambda u, \quad\left(B_{j} u\right)_{\Gamma}=0, j=1,2, \ldots, s m . \] Здесь $u(x)$ - столбец неизвестных функций, $A$ - сильно эллиптич. матричный дифференциальный оператор порядка $2 m$ с главным символом $\hat{A}(x, \xi), B_{j}$ - строчные дифференциальные операторы краевых условий. Пусть $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \ldots$ и $\hat{\lambda}_{1}(x, \xi) \leqslant \hat{\lambda}_{2}(x, \xi) \leqslant \ldots \leqslant \hat{\lambda}_{s}(x, \xi)-$ собственные значения исходной задачи и матрицы $\hat{A}(x, \xi)$ соответственно, $N(\lambda)$ и $\hat{N}(x, \xi, \lambda)-$ соответствующие функции распределения (число собственных значений, меньших данного $\lambda$ ). Тогда при $\lambda \rightarrow+\infty$ \[ N(\lambda)=a \lambda^{n / 2 m}+O\left(\lambda^{(n-1) / 2 m}\right) \] где \[ a=(2 \pi)^{-n} \int_{T^{*} G} \hat{N}(x, \xi, 1) d x d \xi \] При нек-рых дополнительных предположениях, призванных по сути дела исключить случаи с особо сильной симметрией (см. также Кластеры собственных значений), справедлива (см. [2], [3]) уточненная двучленная асимптотика \[ N(\lambda)=a \lambda^{n / 2 m}+b \lambda^{(n-1) / 2 m}+o\left(\lambda^{(n-1) / 2 m}\right), \] где коэффициент $b$ учитывает краевые явления. Для основных задач математич. физики коэффициенты $a$ и $b$ выписаны в [4]. Появление асимптотик типа (1), (2) связано с именем Г. Вейля (см. [1]). Для оператора Лапласа он доказал (1) с остатком $O\left(\lambda^{(n-1) / 2} \ln \lambda\right)$ и предложил (2) в качестве гипотезы. Лит.: [1] Weyl H., «J. reine und angew. Math.», 1913, Bd 143, S. 177-202; [2] Иврий В. Я., «Функциональный анализ и его приложения», 1980, т. 14, в. 2, с. 25-34; [3] Васильев Д. Г., там же, 1984, т. 18, в. 4, с. 1-13; [4] Васильев Д. Г., Гольденвейзер А. Л., в кн.: Механика и научно-технический прогресс, т. 3, М., 1988, с. 223-36. Д. Г. Васильев.

формула, описывающая распределение собственных значений дифференциального оператора. На компактном $n$-мерном многообразии $G$ с $(n-1)$-мерным краем $\Gamma$ рассматривается регулярно эллиптич. самосопряженная полуограниченная снизу задача на собственные значения для системы $s$ линейных дифференциальных уравнений \[ A u=\lambda u, \quad\left(B_{j} u\right)_{\Gamma}=0, j=1,2, \ldots, s m . \] Здесь $u(x)$ - столбец неизвестных функций, $A$ - сильно эллиптич. матричный дифференциальный оператор порядка $2 m$ с главным символом $\hat{A}(x, \xi), B_{j}$ - строчные дифференциальные операторы краевых условий. Пусть $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \ldots$ и $\hat{\lambda}_{1}(x, \xi) \leqslant \hat{\lambda}_{2}(x, \xi) \leqslant \ldots \leqslant \hat{\lambda}_{s}(x, \xi)-$ собственные значения исходной задачи и матрицы $\hat{A}(x, \xi)$ соответственно, $N(\lambda)$ и $\hat{N}(x, \xi, \lambda)-$ соответствующие функции распределения (число собственных значений, меньших данного $\lambda$ ). Тогда при $\lambda \rightarrow+\infty$ \[ N(\lambda)=a \lambda^{n / 2 m}+O\left(\lambda^{(n-1) / 2 m}\right) \] где \[ a=(2 \pi)^{-n} \int_{T^{*} G} \hat{N}(x, \xi, 1) d x d \xi \] При нек-рых дополнительных предположениях, призванных по сути дела исключить случаи с особо сильной симметрией (см. также Кластеры собственных значений), справедлива (см. [2], [3]) уточненная двучленная асимптотика \[ N(\lambda)=a \lambda^{n / 2 m}+b \lambda^{(n-1) / 2 m}+o\left(\lambda^{(n-1) / 2 m}\right), \] где коэффициент $b$ учитывает краевые явления. Для основных задач математич. физики коэффициенты $a$ и $b$ выписаны в [4]. Появление асимптотик типа (1), (2) связано с именем Г. Вейля (см. [1]). Для оператора Лапласа он доказал (1) с остатком $O\left(\lambda^{(n-1) / 2} \ln \lambda\right)$ и предложил (2) в качестве гипотезы. Лит.: [1] Weyl H., «J. reine und angew. Math.», 1913, Bd 143, S. 177-202; [2] Иврий В. Я., «Функциональный анализ и его приложения», 1980, т. 14, в. 2, с. 25-34; [3] Васильев Д. Г., там же, 1984, т. 18, в. 4, с. 1-13; [4] Васильев Д. Г., Гольденвейзер А. Л., в кн.: Механика и научно-технический прогресс, т. 3, М., 1988, с. 223-36. Д. Г. Васильев.