ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ СЛУЧАЙНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ $\left\{\xi_{\varphi}, \varphi \in E\right\}$

функционал $F(\varphi)$ на векторном пространстве $E$, обобщающий понятие характеристической функции одной случайной величины. Пусть задана линейная случайная функция \[ \left\{\xi_{\varphi}, \varphi \in E\right\}, \] то есть семейство случайных величин (определенных на одном и том же вероятностном пространстве $\Omega$ ), помеченных элементами $\varphi \in E$ нек-рого линейного пространства $E$ и линейно зависящих от них: \[ \begin{gathered} \xi_{\lambda_{1} \varphi_{1}}+\lambda_{2} \varphi_{2}=\lambda_{1} \xi_{\varphi_{1}}+\lambda_{2} \xi_{\varphi_{2}}, \\ \varphi_{1}, \varphi_{2} \in E, \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}^{1} . \\ F(\varphi)=\left\langle\exp \left(i \xi_{\varphi}\right)\right\rangle \end{gathered} \] Функционал на $E$ называется характеристическим функционалом линейной случайной функции (1). Из (2) и (3) следует, что для любого конечного набора элементов $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{S}$ функция $f_{\left\{\varphi_{t}\right\}}\left(t_{1}, \ldots, t_{s}\right)$ от действительных переменных $t_{1}, \ldots, t_{s}$ \[ f_{\left\{\varphi_{t}\right\}}\left(t_{1}, \ldots, t_{s}\right)=F\left(t_{1} \varphi_{1}+\ldots+t_{s} \varphi_{s}\right) \] является совместной характеристич. функцией набора случайных величин $\left\{\xi_{\varphi_{1}}, \ldots, \xi_{\varphi_{s}}\right\}$. Таким образом, Х. Ф. $F(\varphi)$ однозначно определяет совместные распределения любого конечного набора случайных величин $\left\{\xi_{\varphi_{1}}, \ldots, \xi_{\varphi_{s}}\right\}$, то есть определяет все статистич. свойства линейной случайной функции (1). Х. Ф. равен 1 при $\varphi=0$, положительно определен, то есть \[ \sum_{i, j} F\left(\varphi_{i}-\varphi_{j}\right) z_{i} z_{j}^{*} \geqslant 0 \] для любого конечного набора элементов $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{S}$ и любого набора комплексных чисел $z_{1}, \ldots, z_{s}(*-$ означает комплексное сопряжение), а также в случае непрерывной линейной функции непрерывен по $\varphi$. В наиболее простом и употребительном случае - гауссовской линейной случайной функции $\left\{\xi_{\varphi}, \varphi \in E\right\}$ со средним и ковариацией \[ E \xi_{\varphi}=T(\varphi) \] $E \xi_{\varphi_{1}}, \xi_{\varphi_{2}}=E \xi_{\varphi_{1}} \xi_{\varphi_{2}}-E \xi_{\varphi_{1}} E \xi_{\varphi_{2}}=B\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ её Х. Ф. $\quad F(\varphi)=\exp \left[-B\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)-i T(\varphi)\right]$. Лит.: [1] Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С. А., Вероятностные распределения в банаховых пространствах, М., 1985. Р. А. Минлос.

функционал $F(\varphi)$ на векторном пространстве $E$, обобщающий понятие характеристической функции одной случайной величины. Пусть задана линейная случайная функция \[ \left\{\xi_{\varphi}, \varphi \in E\right\}, \] то есть семейство случайных величин (определенных на одном и том же вероятностном пространстве $\Omega$ ), помеченных элементами $\varphi \in E$ нек-рого линейного пространства $E$ и линейно зависящих от них: \[ \begin{gathered} \xi_{\lambda_{1} \varphi_{1}}+\lambda_{2} \varphi_{2}=\lambda_{1} \xi_{\varphi_{1}}+\lambda_{2} \xi_{\varphi_{2}}, \\ \varphi_{1}, \varphi_{2} \in E, \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R}^{1} . \\ F(\varphi)=\left\langle\exp \left(i \xi_{\varphi}\right)\right\rangle \end{gathered} \] Функционал на $E$ называется характеристическим функционалом линейной случайной функции (1). Из (2) и (3) следует, что для любого конечного набора элементов $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{S}$ функция $f_{\left\{\varphi_{t}\right\}}\left(t_{1}, \ldots, t_{s}\right)$ от действительных переменных $t_{1}, \ldots, t_{s}$ \[ f_{\left\{\varphi_{t}\right\}}\left(t_{1}, \ldots, t_{s}\right)=F\left(t_{1} \varphi_{1}+\ldots+t_{s} \varphi_{s}\right) \] является совместной характеристич. функцией набора случайных величин $\left\{\xi_{\varphi_{1}}, \ldots, \xi_{\varphi_{s}}\right\}$. Таким образом, Х. Ф. $F(\varphi)$ однозначно определяет совместные распределения любого конечного набора случайных величин $\left\{\xi_{\varphi_{1}}, \ldots, \xi_{\varphi_{s}}\right\}$, то есть определяет все статистич. свойства линейной случайной функции (1). Х. Ф. равен 1 при $\varphi=0$, положительно определен, то есть \[ \sum_{i, j} F\left(\varphi_{i}-\varphi_{j}\right) z_{i} z_{j}^{*} \geqslant 0 \] для любого конечного набора элементов $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{S}$ и любого набора комплексных чисел $z_{1}, \ldots, z_{s}(*-$ означает комплексное сопряжение), а также в случае непрерывной линейной функции непрерывен по $\varphi$. В наиболее простом и употребительном случае - гауссовской линейной случайной функции $\left\{\xi_{\varphi}, \varphi \in E\right\}$ со средним и ковариацией \[ E \xi_{\varphi}=T(\varphi) \] $E \xi_{\varphi_{1}}, \xi_{\varphi_{2}}=E \xi_{\varphi_{1}} \xi_{\varphi_{2}}-E \xi_{\varphi_{1}} E \xi_{\varphi_{2}}=B\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)$ её Х. Ф. $\quad F(\varphi)=\exp \left[-B\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)-i T(\varphi)\right]$. Лит.: [1] Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С. А., Вероятностные распределения в банаховых пространствах, М., 1985. Р. А. Минлос.