ХОПФА УРАВНЕНИЕ

нелинейное уравнение переноса для скорости течения $u(x, t)$ в точке $x \in \mathbb{R}$ в момент времени $t \in[0, \infty)$ в одномерной газодинамике: \[ \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=0 . \] Уравнение (1) точно интегрируется и его решение $u(x, t)$ определяется неявно из уравнения \[ u=u_{0}(x-u t), \] где $u_{0}(x)=u(x, 0)$. Однако это решение существует только на интервале $t \in\left[0,\left(\max _{x}\left(-\partial u_{0} / \partial x\right)\right)^{-1}\right)$. Это явление типично для систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка. Чтобы говорить о возможности продолжения решений этих уравнений на $[0, \infty)$, вводится понятие обобщенных решений, к-рые уже являются разрывными. В классич. работе Э. Хопфа [1] построено обобщенное разрывное решение уравнения (1), как поточечный предел решения уравнения Бюргерса \[ \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=\mu \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad \mu>0, \] с тем же начальным условием $u_{0}(x)$ при стремлении к нулю вязкости $\mu$. Полученное разрывное решение удовлетворяет интегральному закону сохранения \[ \oint_{C} u d x-\frac{u^{2}}{2} d t=0 \] где $C-$ любой контур в $(-\infty, \infty) \times[0, \infty)$, и так наз. условию Гюгонио на линиях разрыва решения. Лит.: [1] Hopf E., «Comm. Pure Appl. Math.», 1956, v. 3, № 1, p. 201-30; [2] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных уравнений, 2 изд., М., 1978. Ю. П. Вирченко.

нелинейное уравнение переноса для скорости течения $u(x, t)$ в точке $x \in \mathbb{R}$ в момент времени $t \in[0, \infty)$ в одномерной газодинамике: \[ \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=0 . \] Уравнение (1) точно интегрируется и его решение $u(x, t)$ определяется неявно из уравнения \[ u=u_{0}(x-u t), \] где $u_{0}(x)=u(x, 0)$. Однако это решение существует только на интервале $t \in\left[0,\left(\max _{x}\left(-\partial u_{0} / \partial x\right)\right)^{-1}\right)$. Это явление типично для систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка. Чтобы говорить о возможности продолжения решений этих уравнений на $[0, \infty)$, вводится понятие обобщенных решений, к-рые уже являются разрывными. В классич. работе Э. Хопфа [1] построено обобщенное разрывное решение уравнения (1), как поточечный предел решения уравнения Бюргерса \[ \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}=\mu \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad \mu>0, \] с тем же начальным условием $u_{0}(x)$ при стремлении к нулю вязкости $\mu$. Полученное разрывное решение удовлетворяет интегральному закону сохранения \[ \oint_{C} u d x-\frac{u^{2}}{2} d t=0 \] где $C-$ любой контур в $(-\infty, \infty) \times[0, \infty)$, и так наз. условию Гюгонио на линиях разрыва решения. Лит.: [1] Hopf E., «Comm. Pure Appl. Math.», 1956, v. 3, № 1, p. 201-30; [2] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных уравнений, 2 изд., М., 1978. Ю. П. Вирченко.