ХОПФА УРАВНЕНИЕ

дифференциальное уравнение для функционала $\chi(t, w)$, имеющее вид: \[ \begin{gathered} \partial \chi(t, w) / \partial t=v(\partial \chi / \partial w, \Delta w)- \\ -i \sum_{j=1}^{3}\left(\partial^{2} \chi / \partial w^{j}(\cdot) \delta w(\cdot), \partial w(\cdot) / \partial x^{j}\right)+i(w, f(t, \cdot)) \chi(t, w) . \end{gathered} \] Здесь \[ \begin{gathered} \delta \chi / \delta w(x)=\left(\delta x / \delta w^{1}(x), \ldots, \delta \chi / \delta w^{3}(x)\right), \\ \delta^{2} \chi / \delta w^{j}(x) \delta w(x) \end{gathered} \] - вариационные производные, $\Delta$ - оператор Лапласа, $f(t, x)$ - плотность внешних сил, \[ (u, v)=\int_{\Omega} u^{j}(x) v^{j}(x) d x \] - скалярное произведение в $L_{2}(\Omega), \Omega \subset \mathbb{R}^{3}-$ ограниченная область, $t \in[0, T]$, \[ w(x) \in H^{2} \equiv\left\{\left(w^{1}, w^{2}, w^{3}\right) \in\left(H^{2}(\Omega)\right)^{3}: \operatorname{div} w=0,\left.w\right|_{\partial \Omega}=0\right\}, \] где $H^{2}(\Omega)$ - пространство функций Соболева, принадлежащих $L_{2}(\Omega)$ вместе с производными до второго порядка. Если функционал $\chi(t, w)$ удовлетворяет Х.у. и является

дифференциальное уравнение для функционала $\chi(t, w)$, имеющее вид: \[ \begin{gathered} \partial \chi(t, w) / \partial t=v(\partial \chi / \partial w, \Delta w)- \\ -i \sum_{j=1}^{3}\left(\partial^{2} \chi / \partial w^{j}(\cdot) \delta w(\cdot), \partial w(\cdot) / \partial x^{j}\right)+i(w, f(t, \cdot)) \chi(t, w) . \end{gathered} \] Здесь \[ \begin{gathered} \delta \chi / \delta w(x)=\left(\delta x / \delta w^{1}(x), \ldots, \delta \chi / \delta w^{3}(x)\right), \\ \delta^{2} \chi / \delta w^{j}(x) \delta w(x) \end{gathered} \] - вариационные производные, $\Delta$ - оператор Лапласа, $f(t, x)$ - плотность внешних сил, \[ (u, v)=\int_{\Omega} u^{j}(x) v^{j}(x) d x \] - скалярное произведение в $L_{2}(\Omega), \Omega \subset \mathbb{R}^{3}-$ ограниченная область, $t \in[0, T]$, \[ w(x) \in H^{2} \equiv\left\{\left(w^{1}, w^{2}, w^{3}\right) \in\left(H^{2}(\Omega)\right)^{3}: \operatorname{div} w=0,\left.w\right|_{\partial \Omega}=0\right\}, \] где $H^{2}(\Omega)$ - пространство функций Соболева, принадлежащих $L_{2}(\Omega)$ вместе с производными до второго порядка. Если функционал $\chi(t, w)$ удовлетворяет Х.у. и является