ХОХЛОВА-ЗАБОЛОТСКОЙ УРАВНЕНИЕ

Уравнение, описывающее трансформацию профилей и спектров нелинейных дифрагирующих волн, локализованных в пространстве в виде пучков, поперечный размер которых велик по сравнению с длиной волны. Опубликовано Р. В. Хохловым и Е.А. Заболотской в 1968. Это одно из основных уравнений теории нелинейных волн. В приложении к нелинейной акустике обобщённым Х.-З. у. принято называть уравнение \[ \frac{\partial}{\partial \tau}\left(\frac{\partial p}{\partial z}-\frac{\varepsilon}{c^{3} \rho} p \frac{\partial p}{\partial \tau}+\hat{L} p\right)=\frac{c}{2} \Delta_{\perp} p . \] Здесь $p-$ акустич. давление, $z$ - координата вдоль оси пучка, $\tau=t-z / c-$ время в бегущей со скоростью звука $c$ системе координат, $\Delta_{\perp}$ - двумерный лапласиан по координатам в поперечном сечении пучка, $\varepsilon-$ нелинейный параметр среды, $\rho$ - плотность среды. Линейный интегро-дифференциальный оператор $\hat{L}$ определяется частотной зависимостью слабых дисперсионных и диссипативных свойств среды. Обычное Х.-З. у. $\hat{L}=0$ в линейном случае $(\varepsilon=0)$ для гармонич. сигналов переходит в параболич. уравнение теории дифракции. Для возмущений с плоскими фронтами Х.-З. у. переходит в уравнение простых волн, описывающее укручение профиля бегущей волны вплоть до образования разрывов - ударных фронтов. Обычное Х.-З. у. также справедливо в той области пространства, где разрывов нет. Приложения, прежде всего к гидроакустике и медицине, потребовали обобщить обычное Х.-З. у. с целью устранения особенностей и учета дополнительных физич. факторов. Наиболее часто используется обобщение Х.-З. у., содержащее вторую производную $\left(\hat{L}=-b \partial^{2} / \partial \tau^{2}\right)$, к-рая описывает диссипацию (в частности, конечную ширину фронта слабых ударных волн), а также интегральный член с экспоненциальным ядром, ответственным за учет молекулярной релаксации. Когда $\hat{L}$ имеет вид 3-й производной по $\tau, \mathrm{X} .-$ З. у. переходит в Кадомцева-Петвиашвили уравнение. Уравнения типа Х.-З. у. использовались независимо с конца 1940-х гг. в механике для расчета обтекания тонких аэродинамич. профилей трансзвуковыми потоками сжимаемого газа, а в 1970-х гг. для расчета ударных волн с пространственно-ограниченным фронтом. Лит.: [1] Руденко О. В., Солуян С. И., Теоретические основы нелинейной акустики, М., 1975; [2] Новиков Б. К., Руденко О. В., Тимошенко В. И., Нелинейная гидроакустика, Л., 1981; [3] Бахвалов Н.С., Жилейкин Я. М., Заболотская Е.А., Нелинейная теория звуковых пучков, М., 1982.

Уравнение, описывающее трансформацию профилей и спектров нелинейных дифрагирующих волн, локализованных в пространстве в виде пучков, поперечный размер которых велик по сравнению с длиной волны. Опубликовано Р. В. Хохловым и Е.А. Заболотской в 1968. Это одно из основных уравнений теории нелинейных волн. В приложении к нелинейной акустике обобщённым Х.-З. у. принято называть уравнение \[ \frac{\partial}{\partial \tau}\left(\frac{\partial p}{\partial z}-\frac{\varepsilon}{c^{3} \rho} p \frac{\partial p}{\partial \tau}+\hat{L} p\right)=\frac{c}{2} \Delta_{\perp} p . \] Здесь $p-$ акустич. давление, $z$ - координата вдоль оси пучка, $\tau=t-z / c-$ время в бегущей со скоростью звука $c$ системе координат, $\Delta_{\perp}$ - двумерный лапласиан по координатам в поперечном сечении пучка, $\varepsilon-$ нелинейный параметр среды, $\rho$ - плотность среды. Линейный интегро-дифференциальный оператор $\hat{L}$ определяется частотной зависимостью слабых дисперсионных и диссипативных свойств среды. Обычное Х.-З. у. $\hat{L}=0$ в линейном случае $(\varepsilon=0)$ для гармонич. сигналов переходит в параболич. уравнение теории дифракции. Для возмущений с плоскими фронтами Х.-З. у. переходит в уравнение простых волн, описывающее укручение профиля бегущей волны вплоть до образования разрывов - ударных фронтов. Обычное Х.-З. у. также справедливо в той области пространства, где разрывов нет. Приложения, прежде всего к гидроакустике и медицине, потребовали обобщить обычное Х.-З. у. с целью устранения особенностей и учета дополнительных физич. факторов. Наиболее часто используется обобщение Х.-З. у., содержащее вторую производную $\left(\hat{L}=-b \partial^{2} / \partial \tau^{2}\right)$, к-рая описывает диссипацию (в частности, конечную ширину фронта слабых ударных волн), а также интегральный член с экспоненциальным ядром, ответственным за учет молекулярной релаксации. Когда $\hat{L}$ имеет вид 3-й производной по $\tau, \mathrm{X} .-$ З. у. переходит в Кадомцева-Петвиашвили уравнение. Уравнения типа Х.-З. у. использовались независимо с конца 1940-х гг. в механике для расчета обтекания тонких аэродинамич. профилей трансзвуковыми потоками сжимаемого газа, а в 1970-х гг. для расчета ударных волн с пространственно-ограниченным фронтом. Лит.: [1] Руденко О. В., Солуян С. И., Теоретические основы нелинейной акустики, М., 1975; [2] Новиков Б. К., Руденко О. В., Тимошенко В. И., Нелинейная гидроакустика, Л., 1981; [3] Бахвалов Н.С., Жилейкин Я. М., Заболотская Е.А., Нелинейная теория звуковых пучков, М., 1982.