ВЕЙЛЯ ПРАВИЛО СООТВЕТСТВИЯ

Правило, определяющее оператор $\hat{f}$ квантовой динамической системы, соответствующий данной классической динамической функции $f(p, q)$, называемой вейлевским символом $\hat{f}$, с помощью интеграла Фурье. Пусть $L-$ фазовое пространство классич. механич. системы с $N$ степенями свободы и $q=\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}\right), p=\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{N}\right)-$ канонич. координаты в $L$. Выражения $q x, q p$ и т. п. служат сокращенными обозначениями для $\sum_{i=1}^{N} q_{i} x_{i}, \sum_{i=1}^{N} q_{i} p_{i}$ и т. п., выражения $d p, d x$ и т. п.- сокращенные обозначения для $d p_{1} \ldots d p_{N}, d x_{1} \ldots d x_{N}$ и т. п. Через $L_{2}$ обозначается гильбертово пространство функций $f(x)$ со скалярным произведением $\int f g^{*} d x$. Операторы координаты $\hat{q}_{k}$ и импульса $\hat{p}_{k}$ в $L_{2}$ имеют вид \[ \left(\hat{q}_{k} f\right)(x)=x_{k} f(x), \quad\left(\hat{p}_{k} f\right)(x)=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} . \] При В. п. с. каждой классич. наблюдаемой величине \[ f(p, q)=\int d x d y \alpha(x, y) \exp \left\{-\frac{i}{\hbar}(x q+y p)\right\} \] ставится в соответствие квантовая наблюдаемая, то есть самосопряженный оператор \[ \hat{f}=\int d x d y \alpha(x, y) \exp \left\{-\frac{i}{\hbar}(x \hat{q}+y \hat{p})\right\}, \] $\alpha(x, y)$ - числовая, возможно сингулярная функция от $x$ и $y$. При В. п. с. каждому полиному \[ f(p, q)=\sum_{f_{m_{1}, \ldots, m_{N}, m_{1}^{\prime}, \ldots, m_{N}^{\prime}}} p_{1}^{m_{1}} \ldots p_{N}^{m_{N}} q_{1}^{m_{1}^{\prime}} \ldots q_{N}^{m_{N}^{\prime}} \] в $L_{2}$ сопоставляется оператор где $\left(\hat{A}^{k} \hat{B}^{l}\right)-$ симметричное произведение операторов $\hat{A}^{k}$ и $\hat{B}^{l}$. Символ $f$ произведения операторов $\hat{f}_{1} \hat{f}_{2}$ выражается через символы $f_{1}$ и $f_{2}$ этих операторов по формуле \[ \begin{gathered} f(p, q)=(\pi \hbar)^{-2 N} \int f_{1}\left(p_{1}, q_{1}\right) f_{2}\left(p_{2}, q_{2}\right) \times \\ \quad \times \exp \left\{-\frac{2}{i \hbar}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ q_{1}, & q_{2}, & q \\ p_{1}, & p_{2}, p \end{array}\right|\right\} d p_{1} d p_{2} d q_{1} d q_{2} . \end{gathered} \] След оператора $\hat{f}$ вычисляется по формуле \[ \operatorname{Tr} \hat{f}=(2 \pi \hbar)^{-N} \int f(p, q) d p d q \] Самосопряженному оператору $\hat{f}$ отвечает действительный символ. В. п. с. является одним из возможных способов линейного квантования. Лит.: [1] Weyl H., «Z. Phys.», 1927, Bd 46, № 1, S. 1; [2] Moyal J. G., «Proc. Cambr. Phil. Soc.», 1949, v. 45, № 1, p. 99; [3] Березин Ф. А., «Теоретич. и математич. физика», 1971, т. 6, № 2, с. $194 . \quad$ Д. П. Санкович.

Правило, определяющее оператор $\hat{f}$ квантовой динамической системы, соответствующий данной классической динамической функции $f(p, q)$, называемой вейлевским символом $\hat{f}$, с помощью интеграла Фурье. Пусть $L-$ фазовое пространство классич. механич. системы с $N$ степенями свободы и $q=\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}\right), p=\left(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{N}\right)-$ канонич. координаты в $L$. Выражения $q x, q p$ и т. п. служат сокращенными обозначениями для $\sum_{i=1}^{N} q_{i} x_{i}, \sum_{i=1}^{N} q_{i} p_{i}$ и т. п., выражения $d p, d x$ и т. п.- сокращенные обозначения для $d p_{1} \ldots d p_{N}, d x_{1} \ldots d x_{N}$ и т. п. Через $L_{2}$ обозначается гильбертово пространство функций $f(x)$ со скалярным произведением $\int f g^{*} d x$. Операторы координаты $\hat{q}_{k}$ и импульса $\hat{p}_{k}$ в $L_{2}$ имеют вид \[ \left(\hat{q}_{k} f\right)(x)=x_{k} f(x), \quad\left(\hat{p}_{k} f\right)(x)=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial f}{\partial x_{k}} . \] При В. п. с. каждой классич. наблюдаемой величине \[ f(p, q)=\int d x d y \alpha(x, y) \exp \left\{-\frac{i}{\hbar}(x q+y p)\right\} \] ставится в соответствие квантовая наблюдаемая, то есть самосопряженный оператор \[ \hat{f}=\int d x d y \alpha(x, y) \exp \left\{-\frac{i}{\hbar}(x \hat{q}+y \hat{p})\right\}, \] $\alpha(x, y)$ - числовая, возможно сингулярная функция от $x$ и $y$. При В. п. с. каждому полиному \[ f(p, q)=\sum_{f_{m_{1}, \ldots, m_{N}, m_{1}^{\prime}, \ldots, m_{N}^{\prime}}} p_{1}^{m_{1}} \ldots p_{N}^{m_{N}} q_{1}^{m_{1}^{\prime}} \ldots q_{N}^{m_{N}^{\prime}} \] в $L_{2}$ сопоставляется оператор где $\left(\hat{A}^{k} \hat{B}^{l}\right)-$ симметричное произведение операторов $\hat{A}^{k}$ и $\hat{B}^{l}$. Символ $f$ произведения операторов $\hat{f}_{1} \hat{f}_{2}$ выражается через символы $f_{1}$ и $f_{2}$ этих операторов по формуле \[ \begin{gathered} f(p, q)=(\pi \hbar)^{-2 N} \int f_{1}\left(p_{1}, q_{1}\right) f_{2}\left(p_{2}, q_{2}\right) \times \\ \quad \times \exp \left\{-\frac{2}{i \hbar}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ q_{1}, & q_{2}, & q \\ p_{1}, & p_{2}, p \end{array}\right|\right\} d p_{1} d p_{2} d q_{1} d q_{2} . \end{gathered} \] След оператора $\hat{f}$ вычисляется по формуле \[ \operatorname{Tr} \hat{f}=(2 \pi \hbar)^{-N} \int f(p, q) d p d q \] Самосопряженному оператору $\hat{f}$ отвечает действительный символ. В. п. с. является одним из возможных способов линейного квантования. Лит.: [1] Weyl H., «Z. Phys.», 1927, Bd 46, № 1, S. 1; [2] Moyal J. G., «Proc. Cambr. Phil. Soc.», 1949, v. 45, № 1, p. 99; [3] Березин Ф. А., «Теоретич. и математич. физика», 1971, т. 6, № 2, с. $194 . \quad$ Д. П. Санкович.