ВЕЙЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

соответствие между функциями и ограниченными операторами в гильбертовом пространстве $H$, определяемое формулой \[ \begin{gathered} f(x, y) \rightarrow A_{f}=(2 \pi)^{-n} \int \ldots \int f(x, y) \times \\ \times \exp \left[-i \sum_{j=1}^{n}\left(x_{j} P_{j}+y_{j} Q_{j}\right)\right] \prod_{j=1}^{n} d x_{j} d y_{j} . \end{gathered} \] Здесь $f(x, y)$ - интегрируемая функция переменных $x=\left(x_{1}\right.$, $\left.\ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$, а $P_{j}, Q_{j}$ - канонич. наблюдаемые, возникающие из неприводимого представления $x \rightarrow V_{x}$, $y \rightarrow U_{y}$ канонического коммутационного соотношения Вейля в H. Имеет место формула Парсеваля \[ \int \ldots \int \overline{f_{1}(x, y)} f_{2}(x, y) \prod_{j=1}^{n} d x_{j} d y_{j}=(2 \pi)^{-n} \operatorname{Tr} A_{f_{1}}^{*} A_{f_{2}}, \] в силу к-рой В. п. продолжается до изоморфизма гильбертова пространства функций $f(x, y)$, квадратично интегрируемых по мере Лебега в $\mathbb{R}^{2 n}$, и пространства операторов Гильберта-Шмидта в $H$. Если $A_{f}$ - ядерный оператор, то имеет место формула обращения \[ f(x, y)=\operatorname{Tr} A_{f} \exp \left[i \sum_{j=1}^{n}\left(x_{j} P_{j}+y_{j} Q_{j}\right)\right] . \] В частности, если $A_{f}-$ оператор плотности, то соответствующая функция $f$ называется его характеристической функцией. Обратное преобразование Фурье характеристич. функции совпадает с Вигнера функцией. $\quad$ A. С. Холево.

соответствие между функциями и ограниченными операторами в гильбертовом пространстве $H$, определяемое формулой \[ \begin{gathered} f(x, y) \rightarrow A_{f}=(2 \pi)^{-n} \int \ldots \int f(x, y) \times \\ \times \exp \left[-i \sum_{j=1}^{n}\left(x_{j} P_{j}+y_{j} Q_{j}\right)\right] \prod_{j=1}^{n} d x_{j} d y_{j} . \end{gathered} \] Здесь $f(x, y)$ - интегрируемая функция переменных $x=\left(x_{1}\right.$, $\left.\ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$, а $P_{j}, Q_{j}$ - канонич. наблюдаемые, возникающие из неприводимого представления $x \rightarrow V_{x}$, $y \rightarrow U_{y}$ канонического коммутационного соотношения Вейля в H. Имеет место формула Парсеваля \[ \int \ldots \int \overline{f_{1}(x, y)} f_{2}(x, y) \prod_{j=1}^{n} d x_{j} d y_{j}=(2 \pi)^{-n} \operatorname{Tr} A_{f_{1}}^{*} A_{f_{2}}, \] в силу к-рой В. п. продолжается до изоморфизма гильбертова пространства функций $f(x, y)$, квадратично интегрируемых по мере Лебега в $\mathbb{R}^{2 n}$, и пространства операторов Гильберта-Шмидта в $H$. Если $A_{f}$ - ядерный оператор, то имеет место формула обращения \[ f(x, y)=\operatorname{Tr} A_{f} \exp \left[i \sum_{j=1}^{n}\left(x_{j} P_{j}+y_{j} Q_{j}\right)\right] . \] В частности, если $A_{f}-$ оператор плотности, то соответствующая функция $f$ называется его характеристической функцией. Обратное преобразование Фурье характеристич. функции совпадает с Вигнера функцией. $\quad$ A. С. Холево.