ЦЕНТРАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ

специальным образом выбранное инвариантное многообразие: а) векторного поля в окрестности особой точки, либо замкнутой траектории или б) диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки. Теорема 1 (см. [1]-[3], [5], [6]). Пусть $O$ - особая точка $C^{2}$-гладкого векторного поля $V$ на $N$-мерном многообразии $M$, а $V_{* 1} O^{-}$линеаризация поля $V$ в точке $O$. Пусть $T^{s}, T^{u}$ и $T^{c}$ - такие инвариантные относительно $V_{* \mid O}$ подпространства касательного пространства к $M$ в точке $O$, что собственные числа ограничения $V_{* \mid O}$ на $T^{s}, T^{u}$ и $T^{c}$ имеют отрицательные, положительные и нулевые вещественные части соответственно. Пусть размерности подпространств $T^{s}, T^{u}$ и $T^{c}$ равны $N_{s}, N_{u}$ и $N_{c}$, соответственно, $N_{s}+N_{u}+N_{c}=N$. Тогда поле $V$ имеет в окрестности точки $\boldsymbol{O}$ следующие пять проходящих через $O$ инвариантных многообразий: устойчивое (притягивающее) $W^{s}$, неустойчивое (отталкивающее) $W^{u}$, центральное (нейтральное) $W^{c}$, центрально-устойчивое $W^{c s}$ и центрально-неустойчивое $W^{c u}$ размерностей $N_{s}, N_{u}, N_{c}, N_{c}+N_{s}$ и $N_{c}+N_{u}$ соответственно. Многообразия $W^{s}, W^{u}$ и $W^{c}$ касаются в точке $O$ подпространств $T^{s}, T^{u}$ и $T^{c}$ соответственно. Многообразие $W^{c s}\left(W^{c u}\right)$ содержит многообразия $W^{c}$ и $W^{s}$ (соответственно $W^{c}$ и $W^{u}$ ). Решения уравнения $d x / d t=V(x)$ с начальными условиями на $W^{s}\left(W^{u}\right)$ экспоненциально стремятся к $O$ при $t \rightarrow+\infty$ (соответственно при $t \rightarrow-\infty$ ). Если поле $V$ гладкое класса $C^{r}$, где $r \geqslant 2-$ натуральное число, то многообразия $W^{s}$ и $W^{u}$ также гладкие класса $C^{r}$, а многообразия $W^{c}, W^{c s}$ и $W^{c u}$ класса $C^{r-1}$. Если поле $V$ аналитично или $C^{\infty}$-гладко, то многообразия $W^{s}$ и $W^{u}$ также аналитичны или $C^{\infty}$-гладки соответственно, в то время как гладкость многообразий $W^{c}, W^{c s}$ и $W^{c u}$, вообще говоря, лишь конечна (но растет с уменьшением рассматриваемой окрестности точки $O$ ). Частный случай этого утверждения, когда $N_{c}=0$, называется теоремой Адамара - Перрона (см. [5]) или теоремой Ляпунова - Перрона (см. [2]). Если $N_{c}=0$, то $W^{c}=\{0\}, W^{c s}=W^{s}$ и $W^{c u}=W^{u}$. Многообразия $W^{s}$ и $W^{u}$ в этом случае называются сепаратрисными многообразиями. Теорема 1 имеет бесконечномерные аналоги (см. [4]). Кроме того, справедливы аналоги этой теоремы для неподвижных точек диффеоморфизмов (см. [1]) [в том числе (см. [4]) в бесконечномерном пространстве] и для замкнутых траекторий векторных полей (см. [1], [6]). Существуют обобщения теоремы 1 на автономные уравнения (см. [1], [2]) и на произвольные инвариантные многообразия диффеоморфизмов и векторных полей (см. [3]). Теорема 2 (теорема сведения Шошитайшвили [7]). В условиях теоремы 1 уравнение $d x / d t=V(x)$ в окрестности точки $O$ топологически эквивалентно системе \[ d \xi / d t=-\xi, d \eta / d i=\eta, d \zeta / d t=v(\zeta), \] где $\xi \in T^{s}, \eta \in T^{u}$, а третье уравнение есть ограничение исходного на многообразие $W^{c}$. Справедлив аналог теоремы 2 для неподвижных точек диффеоморфизма и ее обобщения на конечнопараметрич. семейства векторных полей и диффеоморфизмов.

специальным образом выбранное инвариантное многообразие: а) векторного поля в окрестности особой точки, либо замкнутой траектории или б) диффеоморфизма в окрестности неподвижной точки. Теорема 1 (см. [1]-[3], [5], [6]). Пусть $O$ - особая точка $C^{2}$-гладкого векторного поля $V$ на $N$-мерном многообразии $M$, а $V_{* 1} O^{-}$линеаризация поля $V$ в точке $O$. Пусть $T^{s}, T^{u}$ и $T^{c}$ - такие инвариантные относительно $V_{* \mid O}$ подпространства касательного пространства к $M$ в точке $O$, что собственные числа ограничения $V_{* \mid O}$ на $T^{s}, T^{u}$ и $T^{c}$ имеют отрицательные, положительные и нулевые вещественные части соответственно. Пусть размерности подпространств $T^{s}, T^{u}$ и $T^{c}$ равны $N_{s}, N_{u}$ и $N_{c}$, соответственно, $N_{s}+N_{u}+N_{c}=N$. Тогда поле $V$ имеет в окрестности точки $\boldsymbol{O}$ следующие пять проходящих через $O$ инвариантных многообразий: устойчивое (притягивающее) $W^{s}$, неустойчивое (отталкивающее) $W^{u}$, центральное (нейтральное) $W^{c}$, центрально-устойчивое $W^{c s}$ и центрально-неустойчивое $W^{c u}$ размерностей $N_{s}, N_{u}, N_{c}, N_{c}+N_{s}$ и $N_{c}+N_{u}$ соответственно. Многообразия $W^{s}, W^{u}$ и $W^{c}$ касаются в точке $O$ подпространств $T^{s}, T^{u}$ и $T^{c}$ соответственно. Многообразие $W^{c s}\left(W^{c u}\right)$ содержит многообразия $W^{c}$ и $W^{s}$ (соответственно $W^{c}$ и $W^{u}$ ). Решения уравнения $d x / d t=V(x)$ с начальными условиями на $W^{s}\left(W^{u}\right)$ экспоненциально стремятся к $O$ при $t \rightarrow+\infty$ (соответственно при $t \rightarrow-\infty$ ). Если поле $V$ гладкое класса $C^{r}$, где $r \geqslant 2-$ натуральное число, то многообразия $W^{s}$ и $W^{u}$ также гладкие класса $C^{r}$, а многообразия $W^{c}, W^{c s}$ и $W^{c u}$ класса $C^{r-1}$. Если поле $V$ аналитично или $C^{\infty}$-гладко, то многообразия $W^{s}$ и $W^{u}$ также аналитичны или $C^{\infty}$-гладки соответственно, в то время как гладкость многообразий $W^{c}, W^{c s}$ и $W^{c u}$, вообще говоря, лишь конечна (но растет с уменьшением рассматриваемой окрестности точки $O$ ). Частный случай этого утверждения, когда $N_{c}=0$, называется теоремой Адамара - Перрона (см. [5]) или теоремой Ляпунова - Перрона (см. [2]). Если $N_{c}=0$, то $W^{c}=\{0\}, W^{c s}=W^{s}$ и $W^{c u}=W^{u}$. Многообразия $W^{s}$ и $W^{u}$ в этом случае называются сепаратрисными многообразиями. Теорема 1 имеет бесконечномерные аналоги (см. [4]). Кроме того, справедливы аналоги этой теоремы для неподвижных точек диффеоморфизмов (см. [1]) [в том числе (см. [4]) в бесконечномерном пространстве] и для замкнутых траекторий векторных полей (см. [1], [6]). Существуют обобщения теоремы 1 на автономные уравнения (см. [1], [2]) и на произвольные инвариантные многообразия диффеоморфизмов и векторных полей (см. [3]). Теорема 2 (теорема сведения Шошитайшвили [7]). В условиях теоремы 1 уравнение $d x / d t=V(x)$ в окрестности точки $O$ топологически эквивалентно системе \[ d \xi / d t=-\xi, d \eta / d i=\eta, d \zeta / d t=v(\zeta), \] где $\xi \in T^{s}, \eta \in T^{u}$, а третье уравнение есть ограничение исходного на многообразие $W^{c}$. Справедлив аналог теоремы 2 для неподвижных точек диффеоморфизма и ее обобщения на конечнопараметрич. семейства векторных полей и диффеоморфизмов.