ШВАРЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ В УЗКОМ СМЫСЛЕ, В ОБЛАСТИ $\omega \subset \mathbb{R}^{n}$

линейный непрерывный функционал на основном пространстве \[ \mathscr{D}(\omega)=\underset{K \subset \omega}{\operatorname{limind}} \mathscr{L}(K), \] где индуктивный предел берется по компактам $K$, лежащим в $\omega$. Пространство Фреше $\mathscr{D}(K)$ состоит из всех функций $\Phi(x)$, определенных в области $\omega$ и имеющих непрерывные частные производные $D^{\alpha} \Phi(x)$ всех порядков $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots\right.$, $\alpha_{n}$ ), с носителями $\operatorname{supp} \Phi$, лежащими в $\omega$. Здесь и ниже $D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}, D_{i}=\partial / \partial x_{i},|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}$. Топология в $\mathscr{D}(K)$ задается полунормами \[ |\Phi|=\sup \left\{\left|D^{\alpha} \Phi(x)\right| ;|\alpha|=p, x \in K\right\}, p=0,1,2, \ldots \] Ш. р. были введены Л. Шварцем (L. Schwartz) в конце 40-х гг. 20 в. Это наиболее известный и активно используемый класс обобщенных функций. Многие популярные в приложениях классы обобщенных функций естественным образом вкладываются в пространство Ш. р. Обычно Ш. р. называют просто обобщенными функциями. Имеется непрерывное вложение $\mathscr{T}(\omega) \subset \mathscr{L}(\Omega)$ при $\omega \subset \Omega$, так что определено отображение $\mathscr{T}^{\prime}(\Omega) \rightarrow \mathscr{I}^{\prime}(\omega)$, к-рое Ш. р. $g \in \mathscr{L}^{\prime}(\Omega)$ ставит в соответствие его сужение $\left.g\right|_{\omega} \in \mathscr{L}^{\prime}(\omega)$. Для всякой области $\omega$ в основном пространстве $\mathscr{L}(\omega)$ существует разложение единицы. Именно, для всякого локально конечного покрытия $\left\{\omega_{k}\right\}$ области $\omega$ (то есть $\omega=\bigcup_{k} \omega_{k}$, открытые подмножества $\omega_{k} \Subset \omega$, и любой компакт $K \subset \omega$ пересекается лишь с конечным числом подмножеств $\omega_{k}$ ) существует семейство основных функций $\left\{\Omega_{k}\right\}$ со свойствами: \[ \Phi_{k} \in \mathscr{D}\left(\omega_{k}\right), \quad 0 \leqslant \Phi_{k} \leqslant 1, \quad \sum \Phi_{k}(x)=1, \quad x \in \omega . \] Запись $A \Subset B$ означает, что открытое множество $A$ ограничено и его замыкание $\bar{A}$ лежит в открытом множестве $B$. Далее, пространства $g^{\prime}(\omega)$ образуют пучок векторных пространств на $\mathbb{R}^{n}$, обозначаемый через $g^{\prime}$. В частности, Ш. р. можно описывать локально, у всякого Ш. р. $g$ определен носитель supp $g$ - наименьшее замкнутое множество, вне к-рого $g$ равно нулю. Дифференцирования $D_{i}-$ непрерывные операции в каждом пространстве $\mathscr{D}(\omega)$. Поэтому всякое Ш. р. $g$ имеет производные всех порядков, определяемые формулами \[ \left(D^{\alpha} g, \Phi\right)=(-1)^{|\alpha|}\left(g, D^{\alpha} \Phi\right), \Phi \in \mathscr{M}(\omega) \text {. } \] Каждое Ш. р. локально имеет конечный порядок. Точнее, пусть Ш. р. $g \in \mathscr{L}^{\prime}(\omega)$, тогда для любой подобласти $O \Subset \omega$ сужение $\left.g\right|_{O}$ имеет конечный порядок, то есть существуют непрерывная функция $G$ на $O$ и мультииндекс $\alpha$ такие, что \[ (g, \Phi)=\int G(x) D^{\alpha} \Phi(x) d^{n} x, \quad \Phi \in \mathscr{L}(O) . \] Лит.: [1] Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51 (nouv. éd., P., 1978); [2] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [3] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над $\begin{array}{ll}\text { ними, } 2 \text { изд., М., } 1959 . & \text { В. В. Жаринов. }\end{array}$

линейный непрерывный функционал на основном пространстве \[ \mathscr{D}(\omega)=\underset{K \subset \omega}{\operatorname{limind}} \mathscr{L}(K), \] где индуктивный предел берется по компактам $K$, лежащим в $\omega$. Пространство Фреше $\mathscr{D}(K)$ состоит из всех функций $\Phi(x)$, определенных в области $\omega$ и имеющих непрерывные частные производные $D^{\alpha} \Phi(x)$ всех порядков $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots\right.$, $\alpha_{n}$ ), с носителями $\operatorname{supp} \Phi$, лежащими в $\omega$. Здесь и ниже $D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}, D_{i}=\partial / \partial x_{i},|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}$. Топология в $\mathscr{D}(K)$ задается полунормами \[ |\Phi|=\sup \left\{\left|D^{\alpha} \Phi(x)\right| ;|\alpha|=p, x \in K\right\}, p=0,1,2, \ldots \] Ш. р. были введены Л. Шварцем (L. Schwartz) в конце 40-х гг. 20 в. Это наиболее известный и активно используемый класс обобщенных функций. Многие популярные в приложениях классы обобщенных функций естественным образом вкладываются в пространство Ш. р. Обычно Ш. р. называют просто обобщенными функциями. Имеется непрерывное вложение $\mathscr{T}(\omega) \subset \mathscr{L}(\Omega)$ при $\omega \subset \Omega$, так что определено отображение $\mathscr{T}^{\prime}(\Omega) \rightarrow \mathscr{I}^{\prime}(\omega)$, к-рое Ш. р. $g \in \mathscr{L}^{\prime}(\Omega)$ ставит в соответствие его сужение $\left.g\right|_{\omega} \in \mathscr{L}^{\prime}(\omega)$. Для всякой области $\omega$ в основном пространстве $\mathscr{L}(\omega)$ существует разложение единицы. Именно, для всякого локально конечного покрытия $\left\{\omega_{k}\right\}$ области $\omega$ (то есть $\omega=\bigcup_{k} \omega_{k}$, открытые подмножества $\omega_{k} \Subset \omega$, и любой компакт $K \subset \omega$ пересекается лишь с конечным числом подмножеств $\omega_{k}$ ) существует семейство основных функций $\left\{\Omega_{k}\right\}$ со свойствами: \[ \Phi_{k} \in \mathscr{D}\left(\omega_{k}\right), \quad 0 \leqslant \Phi_{k} \leqslant 1, \quad \sum \Phi_{k}(x)=1, \quad x \in \omega . \] Запись $A \Subset B$ означает, что открытое множество $A$ ограничено и его замыкание $\bar{A}$ лежит в открытом множестве $B$. Далее, пространства $g^{\prime}(\omega)$ образуют пучок векторных пространств на $\mathbb{R}^{n}$, обозначаемый через $g^{\prime}$. В частности, Ш. р. можно описывать локально, у всякого Ш. р. $g$ определен носитель supp $g$ - наименьшее замкнутое множество, вне к-рого $g$ равно нулю. Дифференцирования $D_{i}-$ непрерывные операции в каждом пространстве $\mathscr{D}(\omega)$. Поэтому всякое Ш. р. $g$ имеет производные всех порядков, определяемые формулами \[ \left(D^{\alpha} g, \Phi\right)=(-1)^{|\alpha|}\left(g, D^{\alpha} \Phi\right), \Phi \in \mathscr{M}(\omega) \text {. } \] Каждое Ш. р. локально имеет конечный порядок. Точнее, пусть Ш. р. $g \in \mathscr{L}^{\prime}(\omega)$, тогда для любой подобласти $O \Subset \omega$ сужение $\left.g\right|_{O}$ имеет конечный порядок, то есть существуют непрерывная функция $G$ на $O$ и мультииндекс $\alpha$ такие, что \[ (g, \Phi)=\int G(x) D^{\alpha} \Phi(x) d^{n} x, \quad \Phi \in \mathscr{L}(O) . \] Лит.: [1] Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51 (nouv. éd., P., 1978); [2] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [3] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над $\begin{array}{ll}\text { ними, } 2 \text { изд., М., } 1959 . & \text { В. В. Жаринов. }\end{array}$