ШРЕДИНГЕРА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

1) одна из равноправных схем описания динамики в квантовой механике, в которой изменения во времени претерпевают состояния $\omega=\omega(t)$, а наблюдаемые (не имеющие явной зависимости от времени) фиксированы, хотя их средние значения могут зависеть от времени через волновые функции. Ш. п. является квантовым аналогом классич. картины движения Лиувилля. Среди эквивалентных схем описания квантовой эволюции наиболее известны Гейзенберга представление и взаимодействия представление. В Ш. п. эволюция чистого состояния, описываемого вектором состояния $\psi(x, t)$, определяется Шредингера уравнением \[ i \hbar \frac{d}{d t} \psi(x, t)=H \psi(x, t) ;\left.\quad \psi(x, t)\right|_{t=0}=\psi(x), \] где $H-$ гамильтониан. Смешанное состояние с матрицей плотности $\rho(t)$ эволюционирует по \[ i \hbar \frac{d}{d t} \rho(t)=[H, \rho(t)],\left.\quad \rho(t)\right|_{t=0}, \] где \[ [A, B] \doteqdot A B-B A \] Эти уравнения имеют решения \[ \psi(x, t)=U(t) \psi(x), \rho(t)=U(t) \rho U^{-1}(t), \] соответственно, где \[ U(t)=\exp \left\{-\frac{i}{\hbar} H t\right\} \] - оператор эволюции, к-рый реализует эквивалентность Ш. п. с представлением Гейзенберга. В Ш. п. выделенную роль играют стационарные состояния, в к-рых средние значения наблюдаемых не зависят от времени. Чистые состояния являются собственными для гамильтониана и характеризуются определенным значением энергии $E_{n}$, $H \psi_{n}=E_{n} \psi_{n}$. Условие стационарности для смешанных состояний имеет вид $[H, \rho(t)]=0$. 2) Ш. п. - стандартная реализация канонич. коммутативных соотношений операторами в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$. Для системы с одной степенью свободы Ш. п. действует в пространстве $\mathscr{N}=L^{2}(\mathbb{R})$ (по мере Лебега). В Ш. п. неограниченные канонич. операторы $Q$ и $P$ определены на плотной в $L^{2}(\mathbb{R})$ области $\mathscr{I}=\mathscr{S}(\mathbb{R})$ (пространство Шварца быстроубывающих функций) формулами \[ \left.\begin{array}{l} (Q \psi)(x)=x \psi(x), \\ (P \psi)(x)=-i \frac{d}{d x} \psi(x), \\ \psi \in \mathscr{Q}, \quad \hbar=1 \end{array}\right\} \] и удовлетворяют на $\mathscr{9}$ гейзенберговским канонич. коммутационным соотношениям $[Q, P]=i \hbar,[Q, Q]=0,[P, P]=0$. На области $\mathscr{D}$ операторы $Q$ и $P$ существенно самосопряжены и имеют единственные самосопряженные расширения. Унитарные операторы Вейля $U(p)=e^{i p Q}, \quad V(q)=e^{i q P}$, $q, p \in \mathbb{R}$, действуют в Ш. п. по формулам \[ \left.\begin{array}{l} (U(p) \psi)(x)=e^{i p x} \psi(x), \\ (V(q) \psi)(x)=\psi(x+q) \end{array}\right\} \] и удовлетворяют вейлевской форме канонич. коммутационных соотношений \[ \left.\begin{array}{l} V(q) U(p)=e^{i p q} U(p) V(q), \\ U\left(p_{1}\right) U\left(p_{2}\right)=U\left(p_{1}+p_{2}\right), \\ V\left(q_{1}\right) V\left(q_{2}\right)=V\left(q_{1}+q_{2}\right) . \end{array}\right\} \] Ш. п. неприводимо в $\mathscr{H}$. Оно называется координатным, так как диагонализирует оператор координаты $Q$ и является спектральным представлением для $Q$. Операторы $Q$ и $P$ в Ш. п. имеют непрерывный спектр, заполняющий всю ось. Собственные функции операторов $Q$ и $P$ имеют вид: \[ \begin{gathered} Q \varphi_{q}=q \varphi_{q}, \varphi_{q}(x)=\delta(x-q) ; \\ P \varphi_{p}=p \varphi_{p}, \quad \varphi_{p}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-i p x} \end{gathered} \] и принадлежат пространству $\mathscr{P}^{*}(\mathbb{R})$, топологически двойственному пространству $\mathscr{S}(\mathbb{R}), \mathscr{S}(\mathbb{R}) \subset \mathscr{H} \subset \mathscr{S}^{*}(\mathbb{R})$. Наряду с координатным Ш. п. имеется импульсное, диагонализирующее канонически сопряженный импульс: \[ \begin{gathered} (\tilde{Q} \tilde{\psi})(p)=i \frac{d}{d p} \tilde{\psi}(p), \quad(\tilde{P} \tilde{\psi})(p)=p \tilde{\psi}(p), \\ \tilde{\psi} \in \mathscr{P}(\mathbb{R}) . \end{gathered} \] Импульсное Ш. п. унитарно эквивалентно координатному и его свойства аналогичны. Эквивалентность реализуется преобразованием Фурье: \[ \begin{gathered} W: \psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\mathbb{R}} e^{-i p x} \psi(x) d x, \\ \tilde{Q}=W Q W^{-1}, \quad \tilde{P}=W P W^{-1} . \end{gathered} \] Согласно Стоуна - Неймана теореме единственности каждое представление вейлевских канонич. коммутационных соотношений (4) унитарно эквивалентно прямой сумме копий Ш. п. (3). Для гейзенберговских канонич. коммутационных соотношений (1) существуют неэкспоненцируемые представления неэквивалентные Ш. п. (3) (см. Гейзенберга представление). Обобщение на случай систем с конечным числом степеней свободы не вызывает осложнений. Е. В. Дамаскинский.

1) одна из равноправных схем описания динамики в квантовой механике, в которой изменения во времени претерпевают состояния $\omega=\omega(t)$, а наблюдаемые (не имеющие явной зависимости от времени) фиксированы, хотя их средние значения могут зависеть от времени через волновые функции. Ш. п. является квантовым аналогом классич. картины движения Лиувилля. Среди эквивалентных схем описания квантовой эволюции наиболее известны Гейзенберга представление и взаимодействия представление. В Ш. п. эволюция чистого состояния, описываемого вектором состояния $\psi(x, t)$, определяется Шредингера уравнением \[ i \hbar \frac{d}{d t} \psi(x, t)=H \psi(x, t) ;\left.\quad \psi(x, t)\right|_{t=0}=\psi(x), \] где $H-$ гамильтониан. Смешанное состояние с матрицей плотности $\rho(t)$ эволюционирует по \[ i \hbar \frac{d}{d t} \rho(t)=[H, \rho(t)],\left.\quad \rho(t)\right|_{t=0}, \] где \[ [A, B] \doteqdot A B-B A \] Эти уравнения имеют решения \[ \psi(x, t)=U(t) \psi(x), \rho(t)=U(t) \rho U^{-1}(t), \] соответственно, где \[ U(t)=\exp \left\{-\frac{i}{\hbar} H t\right\} \] - оператор эволюции, к-рый реализует эквивалентность Ш. п. с представлением Гейзенберга. В Ш. п. выделенную роль играют стационарные состояния, в к-рых средние значения наблюдаемых не зависят от времени. Чистые состояния являются собственными для гамильтониана и характеризуются определенным значением энергии $E_{n}$, $H \psi_{n}=E_{n} \psi_{n}$. Условие стационарности для смешанных состояний имеет вид $[H, \rho(t)]=0$. 2) Ш. п. - стандартная реализация канонич. коммутативных соотношений операторами в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$. Для системы с одной степенью свободы Ш. п. действует в пространстве $\mathscr{N}=L^{2}(\mathbb{R})$ (по мере Лебега). В Ш. п. неограниченные канонич. операторы $Q$ и $P$ определены на плотной в $L^{2}(\mathbb{R})$ области $\mathscr{I}=\mathscr{S}(\mathbb{R})$ (пространство Шварца быстроубывающих функций) формулами \[ \left.\begin{array}{l} (Q \psi)(x)=x \psi(x), \\ (P \psi)(x)=-i \frac{d}{d x} \psi(x), \\ \psi \in \mathscr{Q}, \quad \hbar=1 \end{array}\right\} \] и удовлетворяют на $\mathscr{9}$ гейзенберговским канонич. коммутационным соотношениям $[Q, P]=i \hbar,[Q, Q]=0,[P, P]=0$. На области $\mathscr{D}$ операторы $Q$ и $P$ существенно самосопряжены и имеют единственные самосопряженные расширения. Унитарные операторы Вейля $U(p)=e^{i p Q}, \quad V(q)=e^{i q P}$, $q, p \in \mathbb{R}$, действуют в Ш. п. по формулам \[ \left.\begin{array}{l} (U(p) \psi)(x)=e^{i p x} \psi(x), \\ (V(q) \psi)(x)=\psi(x+q) \end{array}\right\} \] и удовлетворяют вейлевской форме канонич. коммутационных соотношений \[ \left.\begin{array}{l} V(q) U(p)=e^{i p q} U(p) V(q), \\ U\left(p_{1}\right) U\left(p_{2}\right)=U\left(p_{1}+p_{2}\right), \\ V\left(q_{1}\right) V\left(q_{2}\right)=V\left(q_{1}+q_{2}\right) . \end{array}\right\} \] Ш. п. неприводимо в $\mathscr{H}$. Оно называется координатным, так как диагонализирует оператор координаты $Q$ и является спектральным представлением для $Q$. Операторы $Q$ и $P$ в Ш. п. имеют непрерывный спектр, заполняющий всю ось. Собственные функции операторов $Q$ и $P$ имеют вид: \[ \begin{gathered} Q \varphi_{q}=q \varphi_{q}, \varphi_{q}(x)=\delta(x-q) ; \\ P \varphi_{p}=p \varphi_{p}, \quad \varphi_{p}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-i p x} \end{gathered} \] и принадлежат пространству $\mathscr{P}^{*}(\mathbb{R})$, топологически двойственному пространству $\mathscr{S}(\mathbb{R}), \mathscr{S}(\mathbb{R}) \subset \mathscr{H} \subset \mathscr{S}^{*}(\mathbb{R})$. Наряду с координатным Ш. п. имеется импульсное, диагонализирующее канонически сопряженный импульс: \[ \begin{gathered} (\tilde{Q} \tilde{\psi})(p)=i \frac{d}{d p} \tilde{\psi}(p), \quad(\tilde{P} \tilde{\psi})(p)=p \tilde{\psi}(p), \\ \tilde{\psi} \in \mathscr{P}(\mathbb{R}) . \end{gathered} \] Импульсное Ш. п. унитарно эквивалентно координатному и его свойства аналогичны. Эквивалентность реализуется преобразованием Фурье: \[ \begin{gathered} W: \psi(x) \mapsto \tilde{\psi}(p)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\mathbb{R}} e^{-i p x} \psi(x) d x, \\ \tilde{Q}=W Q W^{-1}, \quad \tilde{P}=W P W^{-1} . \end{gathered} \] Согласно Стоуна - Неймана теореме единственности каждое представление вейлевских канонич. коммутационных соотношений (4) унитарно эквивалентно прямой сумме копий Ш. п. (3). Для гейзенберговских канонич. коммутационных соотношений (1) существуют неэкспоненцируемые представления неэквивалентные Ш. п. (3) (см. Гейзенберга представление). Обобщение на случай систем с конечным числом степеней свободы не вызывает осложнений. Е. В. Дамаскинский.