ЭВОЛЮЦИОННЫЙ ОПЕРАТОР УРАВНЕНИЯ ЛИУВИЛЛЯ

оператор $S$, действие которого определяется формулой \[ \begin{gathered} \left(S^{n}(t) f_{n}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)= \\ =f_{n}\left(X_{1}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, X_{n}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right), \end{gathered} \] где $X_{i}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-$ фазовая точка $i$-й частицы в момент времени $t$ системы $n$ частиц, которые в начальный момент находились в фазовых точках $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Посредством Э. о. уравнения Лиувилля определяется решение задачи Коши для Лиувилля уравнения \[ D\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=S^{n}(-t) D^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) . \] Если гамильтониан системы удовлетворяет определенным условиям, Э. о. в пространстве суммируемых функций образует однопараметрич. группу изометрич. операторов, инфинитезимальный оператор к-рой на множестве непрерывно дифференцируемых функций с компактными носителями совпадает с Пуассона скобкой (см. [1]).

оператор $S$, действие которого определяется формулой \[ \begin{gathered} \left(S^{n}(t) f_{n}\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)= \\ =f_{n}\left(X_{1}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \ldots, X_{n}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right), \end{gathered} \] где $X_{i}\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)-$ фазовая точка $i$-й частицы в момент времени $t$ системы $n$ частиц, которые в начальный момент находились в фазовых точках $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Посредством Э. о. уравнения Лиувилля определяется решение задачи Коши для Лиувилля уравнения \[ D\left(t, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=S^{n}(-t) D^{0}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) . \] Если гамильтониан системы удовлетворяет определенным условиям, Э. о. в пространстве суммируемых функций образует однопараметрич. группу изометрич. операторов, инфинитезимальный оператор к-рой на множестве непрерывно дифференцируемых функций с компактными носителями совпадает с Пуассона скобкой (см. [1]).