ЭЙЛЕРА-ПУАНСО СЛУЧАЙ

первый (по времени и простейший) из трех классических случаев интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки (другие - Лагранжа - Пуассона случай, Ковалевской случай). Он характеризуется тем, что неподвижной точкой является центр тяжести тела (обычно совпадающий с началом координат $O$). В этом случае $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$ (см. Твердое тело; движение около неподвижной точки) и уравнения Эйлера - Пуассона (I)-(II) обладают следующим четвертым дополнительным первым интегралом: \[ A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2}=l^{2}=\mathrm{const} \] выражающим сохранение кинетич. момента; открыт Л. Эйлером [1]. Этот интеграл и позволяет свести интегрирование уравнений (I)-(II) в рассматриваемом случае к квадратурам, обращению нек-рого эллиптич. интеграла (2-го рода) и решению квадратных уравнений. В частном случае, когда начальные данные таковы, что $B=\frac{l^{2}}{h}$, функции $p, q, r$ выражаются через элементарные функции (см. [3]). Решение уравнений II суть \[ \gamma=\frac{A p}{l}, \quad \gamma^{\prime}=\frac{B q}{l}, \quad \gamma^{\prime \prime}=\frac{C r}{l} . \] Если $p, q, r$ известны как функции $t$, то легко определить и положение твердого тела, применяя выражение $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}$ через Эйлера углы. Заслуга Л. Пуансо (см. [2]) состоит в том, что он дал геометрич. интерпретацию движения твердого тела в рассматриваемом случае. Первое представление Пуансо: эллипсоид инерции (уравнение к-рого $A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1$ в репере, связанном с телом) катится без проскальзывания по неподвижной плоскости $\pi$, перпендикулярной кинетич. моменту $l$ и отстоящей от неподвижной точки $O$ на расстояние \[ \delta=\sqrt{2 h} /|l| \] Эллипсоид, катаясь по плоскости $\pi$, оставляет на ней след, называемый герполодией; точка касания с плоскостью на эллипсоиде описывает кривую, называемую полодией. Так как полодия высекается на эллипсоиде инерции направлением угловой скорости $\omega$, то полодии совпадают с фазовыми кривыми уравнений Эйлера при \[ T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) \] Герполодии располагаются на плоскости в нек-ром кольце и, вообще говоря, не замкнуты. Второе представление Пуансо: если с подвижным репером (связанным с телом) связать конус \[ \frac{A \xi^{2}}{A-D}+\frac{B \xi^{2}}{B-D}+\frac{C \xi^{2}}{C-D}=0, \quad D=\frac{l}{h}, \] то движение тела можно представить как качение этого конуса по плоскости $\pi$, проходящей через $O$ перпендикулярно кинетич. моменту $l$ и вращающейся с постоянной угловой скоростью. Если тело обладает динамич. симметрией, то эллипсоид Пуансо становится эллипсоидом вращения и движение можно описать качением прямого кругового конуса, фиксированного в теле, по неподвижному в пространстве прямому круговому конусу. Лит.: [1] Euler L., «Mémoires de l'Acad. des Sc. de Berlin», 1758 (см. также пер.: Эйлер Л., Основы динамики точки, М., 1938); [2] Poinsot L., «J. de Liouville», 1851, t. 16; [3] Голубев В. В., Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, М., 1953; [4] Татаринов Я. В., Лекции по классической динамике, М., 1984. М. И. Войцеховский.

первый (по времени и простейший) из трех классических случаев интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки (другие - Лагранжа - Пуассона случай, Ковалевской случай). Он характеризуется тем, что неподвижной точкой является центр тяжести тела (обычно совпадающий с началом координат $O$). В этом случае $x_{0}=y_{0}=z_{0}=0$ (см. Твердое тело; движение около неподвижной точки) и уравнения Эйлера - Пуассона (I)-(II) обладают следующим четвертым дополнительным первым интегралом: \[ A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2}=l^{2}=\mathrm{const} \] выражающим сохранение кинетич. момента; открыт Л. Эйлером [1]. Этот интеграл и позволяет свести интегрирование уравнений (I)-(II) в рассматриваемом случае к квадратурам, обращению нек-рого эллиптич. интеграла (2-го рода) и решению квадратных уравнений. В частном случае, когда начальные данные таковы, что $B=\frac{l^{2}}{h}$, функции $p, q, r$ выражаются через элементарные функции (см. [3]). Решение уравнений II суть \[ \gamma=\frac{A p}{l}, \quad \gamma^{\prime}=\frac{B q}{l}, \quad \gamma^{\prime \prime}=\frac{C r}{l} . \] Если $p, q, r$ известны как функции $t$, то легко определить и положение твердого тела, применяя выражение $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}$ через Эйлера углы. Заслуга Л. Пуансо (см. [2]) состоит в том, что он дал геометрич. интерпретацию движения твердого тела в рассматриваемом случае. Первое представление Пуансо: эллипсоид инерции (уравнение к-рого $A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1$ в репере, связанном с телом) катится без проскальзывания по неподвижной плоскости $\pi$, перпендикулярной кинетич. моменту $l$ и отстоящей от неподвижной точки $O$ на расстояние \[ \delta=\sqrt{2 h} /|l| \] Эллипсоид, катаясь по плоскости $\pi$, оставляет на ней след, называемый герполодией; точка касания с плоскостью на эллипсоиде описывает кривую, называемую полодией. Так как полодия высекается на эллипсоиде инерции направлением угловой скорости $\omega$, то полодии совпадают с фазовыми кривыми уравнений Эйлера при \[ T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) \] Герполодии располагаются на плоскости в нек-ром кольце и, вообще говоря, не замкнуты. Второе представление Пуансо: если с подвижным репером (связанным с телом) связать конус \[ \frac{A \xi^{2}}{A-D}+\frac{B \xi^{2}}{B-D}+\frac{C \xi^{2}}{C-D}=0, \quad D=\frac{l}{h}, \] то движение тела можно представить как качение этого конуса по плоскости $\pi$, проходящей через $O$ перпендикулярно кинетич. моменту $l$ и вращающейся с постоянной угловой скоростью. Если тело обладает динамич. симметрией, то эллипсоид Пуансо становится эллипсоидом вращения и движение можно описать качением прямого кругового конуса, фиксированного в теле, по неподвижному в пространстве прямому круговому конусу. Лит.: [1] Euler L., «Mémoires de l'Acad. des Sc. de Berlin», 1758 (см. также пер.: Эйлер Л., Основы динамики точки, М., 1938); [2] Poinsot L., «J. de Liouville», 1851, t. 16; [3] Голубев В. В., Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, М., 1953; [4] Татаринов Я. В., Лекции по классической динамике, М., 1984. М. И. Войцеховский.