ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ УРАВНЕНИЯ

система нелинейных уравнений для определения напряженностей электромагнитного поля и траекторий его источников. В электродинамике Г. Лоренца (H. Lorentz, 1892) каждому источнику (частице) сопоставляется плотность массы $\mu$, заряда $\rho$, тока $\boldsymbol{J}$, поле скоростей $\boldsymbol{v}$ и так наз. микроскопич. поля $\boldsymbol{e}$ (электрическое) и $\boldsymbol{h}$ (магнитное). Предполагается, что эти величины связаны следующими уравнениями (здесь $k-$ номер источника, $c$ - скорость света в вакууме). 1) Уравнения микроскопич. полей: \[ \begin{gathered} \operatorname{rot} \boldsymbol{e}_{k}=-\frac{\partial \boldsymbol{h}_{k}}{c \partial t}, \quad \operatorname{rot} \boldsymbol{h}_{k}=\frac{4 \pi J_{k}}{c}+\frac{\partial \boldsymbol{e}_{k}}{c \partial t}, \\ \operatorname{div} \boldsymbol{e}_{k}=4 \pi \rho_{k}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{h}_{k}=0 . \end{gathered} \] 2) Уравнения движения источников: 3) Связи: \[ \mu_{k} \frac{d v_{k}}{d t}=\sum_{e}\left(\rho_{k} e_{l}+J_{k} \times h_{l} / c\right) \] \[ \begin{gathered} \frac{\partial \rho_{k}}{\partial t}+\operatorname{div} \boldsymbol{J}_{k}=0, \quad \frac{\partial \mu_{k}}{\partial t}+\operatorname{div} \mu_{k} v_{k}=0, \\ \boldsymbol{J}_{k}=\rho_{k} v_{k}, \mu_{k} / m_{k}=\rho_{k} / q_{k}, \end{gathered} \] где $m_{k}$ и $q_{k}$ - массы и заряды источников. Эти уравнения релятивистски инвариантны (А. Пуанкаре; Н. Poincaré, 1906). Для точечных источников: \[ \begin{gathered} J_{\mu}=\{-J / c, \rho\}=q \int_{-\infty}^{\infty} u_{\mu}(\tau) \delta(x-x(\tau)) \delta(y-y(\tau)) \times \\ \times \delta(z-z(\tau)) \delta(t-t(\tau)) d \tau, \end{gathered} \] где $u_{\mu}=\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-1 / 2}\{-v, c\}-4$-скорость источника, $\tau-$ собственное время, $x=x(\tau), y=y(\tau), z=z(\tau), t=t(\tau),-$ траектория в пространстве Минковского. В этом приближении решались задачи Коши для уравнений поля при заданных траекториях его источников и для уравнений движения частиц в заданных электромагнитных полях. Полученные результаты позволили объяснить многочисленные эффекты в процессах излучения и поглощения электромагнитных волн, развить теорию ускорителей и антенн. Однако модель точечных источников приводит к бесконечной энергии микроскопич. полей. Этот недостаток устранен в моделях протяженных источников, напр. в динамич. коллективной модели ядра. В таких моделях движение источников определяется гидродинамики уравнениями, в к-рых с помощью давления учтено взаимодействие, обеспечивающее стабильность источников. Альтернативный подход состоит в использовании в качестве уравнений микроскопич. полей Борна-Инфельда уравнений или Боппа-Подольского уравнений. В обоих случаях энергия поля точечного источника оказывается конечной, причем энергия и импульс поля образуют 4-вектор, к-рый можно принять в качестве 4-вектора энергии-импульса источника (так наз. гипотеза полевой массы). Таким образом, отпадает необходимость в сомнительном тождестве $\mu / m=\rho / q$, к-рое служит исходным пунктом моделей протяженных источников. С другой стороны, обобщения уравнений микроскопич. полей сводятся к постулированию тех или иных материальных уравнений для вакуума. Такие уравнения в принципе оправданы возможностью поляризации вакуума в силу наличия в нем электрон-позитронных пар, но конкретный их вид пока составляет предмет произвольных гипотез.

система нелинейных уравнений для определения напряженностей электромагнитного поля и траекторий его источников. В электродинамике Г. Лоренца (H. Lorentz, 1892) каждому источнику (частице) сопоставляется плотность массы $\mu$, заряда $\rho$, тока $\boldsymbol{J}$, поле скоростей $\boldsymbol{v}$ и так наз. микроскопич. поля $\boldsymbol{e}$ (электрическое) и $\boldsymbol{h}$ (магнитное). Предполагается, что эти величины связаны следующими уравнениями (здесь $k-$ номер источника, $c$ - скорость света в вакууме). 1) Уравнения микроскопич. полей: \[ \begin{gathered} \operatorname{rot} \boldsymbol{e}_{k}=-\frac{\partial \boldsymbol{h}_{k}}{c \partial t}, \quad \operatorname{rot} \boldsymbol{h}_{k}=\frac{4 \pi J_{k}}{c}+\frac{\partial \boldsymbol{e}_{k}}{c \partial t}, \\ \operatorname{div} \boldsymbol{e}_{k}=4 \pi \rho_{k}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{h}_{k}=0 . \end{gathered} \] 2) Уравнения движения источников: 3) Связи: \[ \mu_{k} \frac{d v_{k}}{d t}=\sum_{e}\left(\rho_{k} e_{l}+J_{k} \times h_{l} / c\right) \] \[ \begin{gathered} \frac{\partial \rho_{k}}{\partial t}+\operatorname{div} \boldsymbol{J}_{k}=0, \quad \frac{\partial \mu_{k}}{\partial t}+\operatorname{div} \mu_{k} v_{k}=0, \\ \boldsymbol{J}_{k}=\rho_{k} v_{k}, \mu_{k} / m_{k}=\rho_{k} / q_{k}, \end{gathered} \] где $m_{k}$ и $q_{k}$ - массы и заряды источников. Эти уравнения релятивистски инвариантны (А. Пуанкаре; Н. Poincaré, 1906). Для точечных источников: \[ \begin{gathered} J_{\mu}=\{-J / c, \rho\}=q \int_{-\infty}^{\infty} u_{\mu}(\tau) \delta(x-x(\tau)) \delta(y-y(\tau)) \times \\ \times \delta(z-z(\tau)) \delta(t-t(\tau)) d \tau, \end{gathered} \] где $u_{\mu}=\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-1 / 2}\{-v, c\}-4$-скорость источника, $\tau-$ собственное время, $x=x(\tau), y=y(\tau), z=z(\tau), t=t(\tau),-$ траектория в пространстве Минковского. В этом приближении решались задачи Коши для уравнений поля при заданных траекториях его источников и для уравнений движения частиц в заданных электромагнитных полях. Полученные результаты позволили объяснить многочисленные эффекты в процессах излучения и поглощения электромагнитных волн, развить теорию ускорителей и антенн. Однако модель точечных источников приводит к бесконечной энергии микроскопич. полей. Этот недостаток устранен в моделях протяженных источников, напр. в динамич. коллективной модели ядра. В таких моделях движение источников определяется гидродинамики уравнениями, в к-рых с помощью давления учтено взаимодействие, обеспечивающее стабильность источников. Альтернативный подход состоит в использовании в качестве уравнений микроскопич. полей Борна-Инфельда уравнений или Боппа-Подольского уравнений. В обоих случаях энергия поля точечного источника оказывается конечной, причем энергия и импульс поля образуют 4-вектор, к-рый можно принять в качестве 4-вектора энергии-импульса источника (так наз. гипотеза полевой массы). Таким образом, отпадает необходимость в сомнительном тождестве $\mu / m=\rho / q$, к-рое служит исходным пунктом моделей протяженных источников. С другой стороны, обобщения уравнений микроскопич. полей сводятся к постулированию тех или иных материальных уравнений для вакуума. Такие уравнения в принципе оправданы возможностью поляризации вакуума в силу наличия в нем электрон-позитронных пар, но конкретный их вид пока составляет предмет произвольных гипотез.