ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

потенциал, определяющий вихревую часть векторного поля. В электродинамике поле магнитной индукции $\boldsymbol{B}$ является строго вихревым $(\operatorname{div} \boldsymbol{B}=0)$; для этого поля вводят В. П. $\boldsymbol{A}$ (часто называемый также векторным потенциалом): $\boldsymbol{B}=\operatorname{rot} \boldsymbol{A}$. При этом напряженность электрич. поля $\boldsymbol{E}$ определяется формулой \[ \boldsymbol{E}=-c^{-1} \partial \boldsymbol{A} / \partial t-\nabla \varphi \] где $\varphi$ - скалярный потенциал. Связь потенциалов и полей не является взаимно однозначной, поэтому В. П. следует рассматривать как вспомогательную величину, не допускающую прямых измерений, но облегчающую расчет электромагнитных полей. Обращение к В. п. позволяет упростить выражение для энергии взаимодействия $W$ системы зарядов и токов (объемная плотность $\rho$ и $\boldsymbol{j}$ ) с внешним электромагнитным полем: \[ W=\int\left\{\rho \varphi+c^{-1}(\boldsymbol{j A})\right\} d \boldsymbol{r} . \] Градиентная инвариантность этого выражения обеспечивается уравнением непрерывности \[ \partial \rho / \partial t+\operatorname{div} \boldsymbol{j}=0 \] Отсюда следует, что частица с зарядом $q$ в электромагнитном поле в дополнение к обычному (чисто динамическому) импульсу обладает еще электрокинетическим импульсом \[ p_{\ni К}=q A / c, \] что позволяет придать В. п. соответствующую интерпретацию. В случае переменных процессов с фиксированной зависимостью от времени (напр. exp $[i \omega t]$ ) можно исключить скалярный потенциал и для описания электромагнитного поля использовать только В. П. Так, при лоренцевой калибровке спектральная амплитуда В. П. $\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{\omega}}$ удовлетворяет волновому уравнению, а спектральные составляющие электрического $\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{\omega}}$ и магнитного $\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{\omega}}$ полей в однородной среде с проницаемостями $\varepsilon(\omega)$ и $\mu(\omega)$ определяются соотношениями: \[ \boldsymbol{E}_{\omega}=\frac{c}{i \omega \varepsilon \mu}\left(\nabla \operatorname{div} \boldsymbol{A}_{\omega}+\frac{\varepsilon \mu \omega^{2}}{c^{2}} \boldsymbol{A}_{\omega}^{2}\right), \quad \boldsymbol{B}_{\omega}=\operatorname{rot} \boldsymbol{A}_{\omega} . \]

потенциал, определяющий вихревую часть векторного поля. В электродинамике поле магнитной индукции $\boldsymbol{B}$ является строго вихревым $(\operatorname{div} \boldsymbol{B}=0)$; для этого поля вводят В. П. $\boldsymbol{A}$ (часто называемый также векторным потенциалом): $\boldsymbol{B}=\operatorname{rot} \boldsymbol{A}$. При этом напряженность электрич. поля $\boldsymbol{E}$ определяется формулой \[ \boldsymbol{E}=-c^{-1} \partial \boldsymbol{A} / \partial t-\nabla \varphi \] где $\varphi$ - скалярный потенциал. Связь потенциалов и полей не является взаимно однозначной, поэтому В. П. следует рассматривать как вспомогательную величину, не допускающую прямых измерений, но облегчающую расчет электромагнитных полей. Обращение к В. п. позволяет упростить выражение для энергии взаимодействия $W$ системы зарядов и токов (объемная плотность $\rho$ и $\boldsymbol{j}$ ) с внешним электромагнитным полем: \[ W=\int\left\{\rho \varphi+c^{-1}(\boldsymbol{j A})\right\} d \boldsymbol{r} . \] Градиентная инвариантность этого выражения обеспечивается уравнением непрерывности \[ \partial \rho / \partial t+\operatorname{div} \boldsymbol{j}=0 \] Отсюда следует, что частица с зарядом $q$ в электромагнитном поле в дополнение к обычному (чисто динамическому) импульсу обладает еще электрокинетическим импульсом \[ p_{\ni К}=q A / c, \] что позволяет придать В. п. соответствующую интерпретацию. В случае переменных процессов с фиксированной зависимостью от времени (напр. exp $[i \omega t]$ ) можно исключить скалярный потенциал и для описания электромагнитного поля использовать только В. П. Так, при лоренцевой калибровке спектральная амплитуда В. П. $\boldsymbol{A}_{\boldsymbol{\omega}}$ удовлетворяет волновому уравнению, а спектральные составляющие электрического $\boldsymbol{E}_{\boldsymbol{\omega}}$ и магнитного $\boldsymbol{B}_{\boldsymbol{\omega}}$ полей в однородной среде с проницаемостями $\varepsilon(\omega)$ и $\mu(\omega)$ определяются соотношениями: \[ \boldsymbol{E}_{\omega}=\frac{c}{i \omega \varepsilon \mu}\left(\nabla \operatorname{div} \boldsymbol{A}_{\omega}+\frac{\varepsilon \mu \omega^{2}}{c^{2}} \boldsymbol{A}_{\omega}^{2}\right), \quad \boldsymbol{B}_{\omega}=\operatorname{rot} \boldsymbol{A}_{\omega} . \]