ЭРГОДИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

предположение, что средние по времени значения физич. величин, характеризующих систему, равны их средним статистическим. Предложена Л. Больцманом (L. Boltzmann, 1887) для обоснования статистич. физики. В классич. статистич. физике равновесных систем Э. г. основана на предположении, что средние по времени от фазовых переменных (функций, зависящих от координат $q$ и импульсов $p$ всех частиц замкнутой и энергетически изолированной системы), взятые вдоль траектории движения системы в фазовом пространстве, равны средним статистическим по равномерному распределению фазовых точек в тонком (в пределе - бесконечно тонком) слое вблизи поверхности постоянной энергии. В квантовой статистич. физике Э. г. есть предположение, что все энергетич. состояния в тонком слое вблизи поверхности постоянной энергии равновероятны. Э. г. эквивалентна, таким образом, предположению, что замкнутая система (как классическая, так и квантовая) может быть описана микроканонич. Гиббса распределением. Напр., для классич. замкнутых систем из $N$ частиц с Гамильтона функцией $H_{N}(p, q)$ в объеме $V$ почти всегда существуют средние по времени от функции фазовых переменных $F(p(t), q(t))$ : \[ \tilde{F}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} F(p(t), q(t)) d t \] где эволюция $p(t), q(t)$ во времени определяется из решения уравнений Гамильтона. Согласно Э. г., \[ \tilde{F}=\langle F\rangle_{\mathrm{M} . \mathrm{K} .}=\int F(p, q) f_{\mathrm{M} . \mathrm{K} .}(p, q) d \Gamma_{N}, \] где $d \Gamma_{N}=d p d q / N ! h^{3 N}$ - элемент фазового объема в безразмерных переменных; $f_{\text {М.к. }}(p, q)$ - микроканонич. распределение, имеющее вид: \[ f_{\text {м.к. }}(p, q)= \begin{cases}W(\mathscr{E}, N, V) & \text { при } \mathscr{E} \leqslant H_{N}(p, q) \leqslant \mathscr{E}+\Delta \mathscr{E}, \\ 0 & \text { вне этого слоя }\end{cases} \] (интегрирование проводится по всем «микроскопическим» состояниям системы, энергия к-рых лежит в слое энергии шириной $\Delta \mathscr{E}) ; W(\mathscr{E}, N, V)=\int d \Gamma_{N}-$ статистический вес, связанный с энтропией $S$ соотношением $S=k \ln W$. Делались попытки обоснования Э. г. с помощью исследования свойств фазовых траекторий замкнутых изолированных механич. систем из большого числа частиц. Были доказаны эргодические теоремы, к-рые сводили Э. г. к предположению о специфич. свойстве фазового пространства (его метрич. неразложимости). Однако для обоснования статистич. физики эти теоремы не являются необходимыми, так как фазовые траектории чрезвычайно чувствительны к малым возмущениям. В частности, они очень чувствительны к малейшему нарушению изоляции или замкнутости системы. Аналогичным свойством чувствительности квантовых состояний к малым возмущениям обладают и квантовые системы.

предположение, что средние по времени значения физич. величин, характеризующих систему, равны их средним статистическим. Предложена Л. Больцманом (L. Boltzmann, 1887) для обоснования статистич. физики. В классич. статистич. физике равновесных систем Э. г. основана на предположении, что средние по времени от фазовых переменных (функций, зависящих от координат $q$ и импульсов $p$ всех частиц замкнутой и энергетически изолированной системы), взятые вдоль траектории движения системы в фазовом пространстве, равны средним статистическим по равномерному распределению фазовых точек в тонком (в пределе - бесконечно тонком) слое вблизи поверхности постоянной энергии. В квантовой статистич. физике Э. г. есть предположение, что все энергетич. состояния в тонком слое вблизи поверхности постоянной энергии равновероятны. Э. г. эквивалентна, таким образом, предположению, что замкнутая система (как классическая, так и квантовая) может быть описана микроканонич. Гиббса распределением. Напр., для классич. замкнутых систем из $N$ частиц с Гамильтона функцией $H_{N}(p, q)$ в объеме $V$ почти всегда существуют средние по времени от функции фазовых переменных $F(p(t), q(t))$ : \[ \tilde{F}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} F(p(t), q(t)) d t \] где эволюция $p(t), q(t)$ во времени определяется из решения уравнений Гамильтона. Согласно Э. г., \[ \tilde{F}=\langle F\rangle_{\mathrm{M} . \mathrm{K} .}=\int F(p, q) f_{\mathrm{M} . \mathrm{K} .}(p, q) d \Gamma_{N}, \] где $d \Gamma_{N}=d p d q / N ! h^{3 N}$ - элемент фазового объема в безразмерных переменных; $f_{\text {М.к. }}(p, q)$ - микроканонич. распределение, имеющее вид: \[ f_{\text {м.к. }}(p, q)= \begin{cases}W(\mathscr{E}, N, V) & \text { при } \mathscr{E} \leqslant H_{N}(p, q) \leqslant \mathscr{E}+\Delta \mathscr{E}, \\ 0 & \text { вне этого слоя }\end{cases} \] (интегрирование проводится по всем «микроскопическим» состояниям системы, энергия к-рых лежит в слое энергии шириной $\Delta \mathscr{E}) ; W(\mathscr{E}, N, V)=\int d \Gamma_{N}-$ статистический вес, связанный с энтропией $S$ соотношением $S=k \ln W$. Делались попытки обоснования Э. г. с помощью исследования свойств фазовых траекторий замкнутых изолированных механич. систем из большого числа частиц. Были доказаны эргодические теоремы, к-рые сводили Э. г. к предположению о специфич. свойстве фазового пространства (его метрич. неразложимости). Однако для обоснования статистич. физики эти теоремы не являются необходимыми, так как фазовые траектории чрезвычайно чувствительны к малым возмущениям. В частности, они очень чувствительны к малейшему нарушению изоляции или замкнутости системы. Аналогичным свойством чувствительности квантовых состояний к малым возмущениям обладают и квантовые системы.