ЭРГОДИЧНОСТЬ

свойство группы или полугруппы, сохраняющих меру преобразований вероятностного пространства $(\Omega, \mathscr{F}$, Р $)$. Оно определяется как отсутствие подмножеств $A \in \mathscr{F}, \mathrm{P}(A)>0, \mathrm{P}(\Omega \backslash A)>0$, инвариантных относительно группы или полугруппы. Для сохраняющих бесконечную меру преобразований иногда вместо термина «Э.» используется термин «метрическая транзитивность». Если $\left\{S^{(t)}\right\}$ - группа сдвигов в пространстве реализаций стационарного случайного поля $X=\left\{X(t), t \in \mathbb{R}^{d}\right.$ или $\left.\mathbb{Z}^{d}\right\}$, то Э. означает, что для любой случайной величины $Y\left(X \in L^{1}(\Omega, \mathscr{F}, \mathrm{P})\right)$ временное среднее \[ \frac{1}{T^{d}} \int_{0}^{T} \ldots \int_{0}^{T} Y\left(S^{\left(t_{1} \ldots t_{d}\right)}\right) d t_{1} \ldots d t_{d} \rightarrow \mathrm{E} Y \] почти всюду (в случае $\mathbb{Z}^{d}$ вместо интегралов надо рассмотреть суммы). Эквивалентность этого приведенному выше определения есть простое следствие Биркгофа - Хинчина эргодической теоремы.

свойство группы или полугруппы, сохраняющих меру преобразований вероятностного пространства $(\Omega, \mathscr{F}$, Р $)$. Оно определяется как отсутствие подмножеств $A \in \mathscr{F}, \mathrm{P}(A)>0, \mathrm{P}(\Omega \backslash A)>0$, инвариантных относительно группы или полугруппы. Для сохраняющих бесконечную меру преобразований иногда вместо термина «Э.» используется термин «метрическая транзитивность». Если $\left\{S^{(t)}\right\}$ - группа сдвигов в пространстве реализаций стационарного случайного поля $X=\left\{X(t), t \in \mathbb{R}^{d}\right.$ или $\left.\mathbb{Z}^{d}\right\}$, то Э. означает, что для любой случайной величины $Y\left(X \in L^{1}(\Omega, \mathscr{F}, \mathrm{P})\right)$ временное среднее \[ \frac{1}{T^{d}} \int_{0}^{T} \ldots \int_{0}^{T} Y\left(S^{\left(t_{1} \ldots t_{d}\right)}\right) d t_{1} \ldots d t_{d} \rightarrow \mathrm{E} Y \] почти всюду (в случае $\mathbb{Z}^{d}$ вместо интегралов надо рассмотреть суммы). Эквивалентность этого приведенному выше определения есть простое следствие Биркгофа - Хинчина эргодической теоремы.