ЭРНСТА УРАВНЕНИЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

нелинейные (квазилинейные) уравнения с частными производными, представляющие собой двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме (одно уравнение для одного комплексного потенциала) или уравнений Эйнштейна - Максвелла для взаимодействующих гравитационных и электромагнитных полей вне их источников, то есть для электровакуумных полей (система двух уравнений для двух комплексных потенциалов). Эти редукции имеют место при следующих предположениях. 1) Существуют два коммутирующих между собой неизотропных поля векторов Киллинга, то есть пространство-время допускает двумерную абелеву группу изометрий. 2) Существуют двумерные поверхности, ортогональные к орбитам этой группы изометрий. При выполнении этих условий все компоненты метрики и 4-потенциала электромагнитного поля зависят только от двух из четырех пространственно-временных координат и выражаются через упомянутые выше комплексные потенциалы. Э.у. для гравитационных полей в вакууме имеет вид (см. [1]): \[ (\operatorname{Re} \mathscr{E}) \eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu}+\frac{\alpha_{\mu}}{\alpha}\right) \partial_{v} \mathscr{E}-\eta^{\mu v} \partial_{\mu} \mathscr{E} \partial_{v} \mathscr{E}=0, \] где $\boldsymbol{\varepsilon}\left(x^{1}, x^{2}\right)$ - комплексный потенциал Эрнста, Re $\varepsilon-$ его вещественная часть; индексы $\mu, v$ пробегают значения 1,2 ; $\partial_{\mu}$ есть $\partial / \partial x^{\mu}$; постоянная матрица $\eta^{\mu \nu}=\operatorname{diag}(1,-\varepsilon)$, где $\varepsilon=1$ в гиперболич. случае, то есть для полей, зависящих от времени и одной из пространственных координат, и $\varepsilon=-1$ в эллиптич. случае, то есть для стационарных полей. Функция $\alpha\left(x^{1}, x^{2}\right)$ есть произвольное непостоянное решение линейного уравнения такое, что \[ \begin{gathered} \eta^{\mu v} \partial_{\mu} \partial_{v} \alpha=0 \\ \eta^{\mu v} \partial_{\mu} \alpha \partial_{v} \alpha \neq 0 . \end{gathered} \] Эта функция может быть выбрана в качестве одной из координат, напр. координаты $x^{1}$. Так, для стационарных полей с осевой симметрией обычно полагают $x^{1}=\alpha=\rho$, $x^{2}=z$ Э. у. для электровакуумных полей в тех же обозначениях имеют вид (см. [2]): $\left\{\begin{array}{l}(\operatorname{Re} \mathscr{E}+\Phi \bar{\Phi}) \eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu}+\frac{\alpha_{\mu}}{\alpha}\right) \partial_{v} \mathscr{E}-\eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu}^{\mathscr{E}}+2 \bar{\Phi} \partial_{\mu} \Phi\right) \partial_{v} \mathscr{E}=0, \\ (\operatorname{Re} \mathscr{E}+\Phi \bar{\Phi}) \eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu}+\frac{\alpha_{\mu}}{\alpha}\right) \partial_{v} \Phi-\eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu} \mathscr{E}+2 \bar{\Phi} \partial_{\mu} \Phi\right) \partial_{v} \Phi=0\end{array}\right.$ Обзор многих результатов, касающихся полной интегрируемости Э.у. и методов построения разнообразных семейств их точных решений можно найти, напр., в [3]. Лит.: [1] Ernst F.J., «Phys. Rev.», 1968, v. 167, p. 1175-78; [2] его же, там же, 1968, v. 168, p. 1415-17; [3] Алексеев Г.А., «Труды Математич. ин-та АН СССР», 1987, т. 176, с. 211-58. Г. А. Алексеев.

нелинейные (квазилинейные) уравнения с частными производными, представляющие собой двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме (одно уравнение для одного комплексного потенциала) или уравнений Эйнштейна - Максвелла для взаимодействующих гравитационных и электромагнитных полей вне их источников, то есть для электровакуумных полей (система двух уравнений для двух комплексных потенциалов). Эти редукции имеют место при следующих предположениях. 1) Существуют два коммутирующих между собой неизотропных поля векторов Киллинга, то есть пространство-время допускает двумерную абелеву группу изометрий. 2) Существуют двумерные поверхности, ортогональные к орбитам этой группы изометрий. При выполнении этих условий все компоненты метрики и 4-потенциала электромагнитного поля зависят только от двух из четырех пространственно-временных координат и выражаются через упомянутые выше комплексные потенциалы. Э.у. для гравитационных полей в вакууме имеет вид (см. [1]): \[ (\operatorname{Re} \mathscr{E}) \eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu}+\frac{\alpha_{\mu}}{\alpha}\right) \partial_{v} \mathscr{E}-\eta^{\mu v} \partial_{\mu} \mathscr{E} \partial_{v} \mathscr{E}=0, \] где $\boldsymbol{\varepsilon}\left(x^{1}, x^{2}\right)$ - комплексный потенциал Эрнста, Re $\varepsilon-$ его вещественная часть; индексы $\mu, v$ пробегают значения 1,2 ; $\partial_{\mu}$ есть $\partial / \partial x^{\mu}$; постоянная матрица $\eta^{\mu \nu}=\operatorname{diag}(1,-\varepsilon)$, где $\varepsilon=1$ в гиперболич. случае, то есть для полей, зависящих от времени и одной из пространственных координат, и $\varepsilon=-1$ в эллиптич. случае, то есть для стационарных полей. Функция $\alpha\left(x^{1}, x^{2}\right)$ есть произвольное непостоянное решение линейного уравнения такое, что \[ \begin{gathered} \eta^{\mu v} \partial_{\mu} \partial_{v} \alpha=0 \\ \eta^{\mu v} \partial_{\mu} \alpha \partial_{v} \alpha \neq 0 . \end{gathered} \] Эта функция может быть выбрана в качестве одной из координат, напр. координаты $x^{1}$. Так, для стационарных полей с осевой симметрией обычно полагают $x^{1}=\alpha=\rho$, $x^{2}=z$ Э. у. для электровакуумных полей в тех же обозначениях имеют вид (см. [2]): $\left\{\begin{array}{l}(\operatorname{Re} \mathscr{E}+\Phi \bar{\Phi}) \eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu}+\frac{\alpha_{\mu}}{\alpha}\right) \partial_{v} \mathscr{E}-\eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu}^{\mathscr{E}}+2 \bar{\Phi} \partial_{\mu} \Phi\right) \partial_{v} \mathscr{E}=0, \\ (\operatorname{Re} \mathscr{E}+\Phi \bar{\Phi}) \eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu}+\frac{\alpha_{\mu}}{\alpha}\right) \partial_{v} \Phi-\eta^{\mu v}\left(\partial_{\mu} \mathscr{E}+2 \bar{\Phi} \partial_{\mu} \Phi\right) \partial_{v} \Phi=0\end{array}\right.$ Обзор многих результатов, касающихся полной интегрируемости Э.у. и методов построения разнообразных семейств их точных решений можно найти, напр., в [3]. Лит.: [1] Ernst F.J., «Phys. Rev.», 1968, v. 167, p. 1175-78; [2] его же, там же, 1968, v. 168, p. 1415-17; [3] Алексеев Г.А., «Труды Математич. ин-та АН СССР», 1987, т. 176, с. 211-58. Г. А. Алексеев.