ЭФФЕКТИВНЫЙ ЛАГРАНЖИАН В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

лагранжиан, в котором учтено в ограниченной области энергий взаимодействие лишь части из полного числа степеней свободы, содержащихся в исходном фундаментальном лагранжиане квантовой теории поля. При этом «лишние» степени свободы, содержащиеся в фундаментальном лагранжиане, либо вообще не возбуждаются и могут не учитываться при построении Э. Л., либо, через вакуумные флуктуации, определяют вид взаимодействия полей в Э. Л. Практически любой из известных лагранжианов может рассматриваться как Э. л. с точки зрения более глубокой теории. Поэтому Э. л. является одним из важнейших понятий квантовой теории поля. Процедура построения Э. Л. состоит в исключении лишних степеней свободы из исходного лагранжиана. Исключение может производиться разными способами, напр. с помощью интегрирования по этим степеням свободы в функциональном интеграле (что соответствует суммированию по их вакуумным флуктуациям) или с помощью техники операторного разложения. В адронной физике, где явное исключение лишних степеней свободы, как правило, оказывается невозможным, методика построения Э. Л. основывается на использовании принципов симметрии. Э. Л. применяется для вычислений в низкоэнергетич. адронной физике, при описании слабого взаимодействия, в сочетании с операторным разложением он находит широкое распространение в квантовой хромодинамике. В практич. вычислениях последовательно использовать Э. л. можно только в 1-м порядке теории возмущений. Это, в частности, связано с тем, что при учете входящих в Э.л. взаимодействий в высших порядках приходится учитывать (в промежуточных состояниях) возбуждение тех степеней свободы (напр., компонент полей с большими импульсами), к-рых нет в первоначальном Э. Л. Таким образом, учет высших приближений, как правило, приводит к выходу за рамки применимости первоначального Э. Л. Исключение составляют перенормируемые Э.л., итерация к-рых при описании низкоэнергетич. процессов является непротиворечивой. Все известные реалистич. лагранжианы (лагранжианы квантовой хромодинамики и электрослабого взаимодействия) являются перенормируемыми Э.л. с точки зрения более глубокой квантовой теории поля (напр., с точки зрения великого объединения моделей). Исторически первым примером Э.л., непосредственно полученного из исходного фундаментального лагранжиана, явился Гейзенберга - Эйлера лагранжиан, описывающий нелинейное взаимодействие низкоэнергетич. компонент электромагнитного поля, возникающее за счет суммирования по вакуумным флуктуациям электрон-позитронного поля в лагранжиане квантовой электродинамики. Характерной величиной напряженности поля в лагранжиане Гейзенберга - Эйлера является \[ F_{0}=m^{2} c^{3} / e \hbar \] где $e$ и $m-$ заряд и масса электрона $\left(e^{2} / \hbar c=\alpha \approx 1 / 137\right)$. В полях такой напряженности заряд $e$ на расстоянии комптоновской длины электрона, $r \sim \lambda_{C}=\hbar / m c$, приобретает энергию $\sim m c^{2}$. Лагранжиан Гейзенберга - Эйлера получен для медленно меняющихся полей с характерными частотами $\omega \ll m c^{2} / \hbar$, поэтому он является функцией только отношений $E / F_{0}$ и $H / F_{0}$ и не содержит производных от напряженностей электрического $(\boldsymbol{E})$ и магнитного $(\boldsymbol{H})$ полей. Общее выражение для лагранжиана Гейзенберга - Эйлера достаточно громоздко. В предельном случае слабых полей $\left(E \sim H \ll F_{0}\right)$ плотность лагранжиана Гейзенберга - Эйлера имеет вид: \[ \mathscr{Y}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{E}^{2}-\boldsymbol{H}^{2}\right)+\frac{\alpha}{90 \pi F_{0}^{2}}\left[\left(\boldsymbol{E}^{2}-\boldsymbol{H}^{2}\right)^{2}+7(\boldsymbol{E} \boldsymbol{H})^{2}\right]+\ldots \] Для сильных полей $\left(E \sim H \gg F_{0}\right)$ : \[ \mathscr{\varphi}=-\frac{1}{3} \alpha\left(\boldsymbol{E}^{2}-\boldsymbol{H}^{2}\right) \ln \frac{\left|\boldsymbol{E}^{2}-\boldsymbol{H}^{2}\right|}{F_{0}^{2}} . \] Лагранжиан Гейзенберга - Эйлера получен В. Гейзенбергом и Г. Эйлером [1]. Ю. Швингер [2] разработал эффективный общий метод вывода лагранжианов типа лагранжиана Гейзенберга - Эйлера с использованием так наз. формализма собственного времени. Набор полей, входящих в Э. л., может и не совпадать с полями в исходном фундаментальном лагранжиане, а описывать, напр., связанные состояния исходных полей в ограниченном интервале импульсов. Такая ситуация осуществляется, в частности, в киральном лагранжиане (см. Киральная симметрия), к-рый описывает низкоэнергетич. взаимодействие $\pi$-мезонов с нуклонами (см. [3]), а также в Э. л., являющимся феноменологич. реализацией нарушенной $U(1)$-симметрии мезонных взаимодействий в квантовой хромодинамике (см. [4]). Лит.: [1] Heisenberg W., Euler H., «Z. Phys.», 1936, Bd 98, S. 714; [2] Schwinger J., "Phys. Rev.», 1951, v. 82, p. 664; [3] Weinberg S., "Phys. Rev.", 1968, v. 166, p. 1568; [4] Arnowitt R., $\mathrm{N}$ath P., «Nucl. Phys.», 1982, v. B 209, p. $234 . \quad$ М. В. Терентьев.

лагранжиан, в котором учтено в ограниченной области энергий взаимодействие лишь части из полного числа степеней свободы, содержащихся в исходном фундаментальном лагранжиане квантовой теории поля. При этом «лишние» степени свободы, содержащиеся в фундаментальном лагранжиане, либо вообще не возбуждаются и могут не учитываться при построении Э. Л., либо, через вакуумные флуктуации, определяют вид взаимодействия полей в Э. Л. Практически любой из известных лагранжианов может рассматриваться как Э. л. с точки зрения более глубокой теории. Поэтому Э. л. является одним из важнейших понятий квантовой теории поля. Процедура построения Э. Л. состоит в исключении лишних степеней свободы из исходного лагранжиана. Исключение может производиться разными способами, напр. с помощью интегрирования по этим степеням свободы в функциональном интеграле (что соответствует суммированию по их вакуумным флуктуациям) или с помощью техники операторного разложения. В адронной физике, где явное исключение лишних степеней свободы, как правило, оказывается невозможным, методика построения Э. Л. основывается на использовании принципов симметрии. Э. Л. применяется для вычислений в низкоэнергетич. адронной физике, при описании слабого взаимодействия, в сочетании с операторным разложением он находит широкое распространение в квантовой хромодинамике. В практич. вычислениях последовательно использовать Э. л. можно только в 1-м порядке теории возмущений. Это, в частности, связано с тем, что при учете входящих в Э.л. взаимодействий в высших порядках приходится учитывать (в промежуточных состояниях) возбуждение тех степеней свободы (напр., компонент полей с большими импульсами), к-рых нет в первоначальном Э. Л. Таким образом, учет высших приближений, как правило, приводит к выходу за рамки применимости первоначального Э. Л. Исключение составляют перенормируемые Э.л., итерация к-рых при описании низкоэнергетич. процессов является непротиворечивой. Все известные реалистич. лагранжианы (лагранжианы квантовой хромодинамики и электрослабого взаимодействия) являются перенормируемыми Э.л. с точки зрения более глубокой квантовой теории поля (напр., с точки зрения великого объединения моделей). Исторически первым примером Э.л., непосредственно полученного из исходного фундаментального лагранжиана, явился Гейзенберга - Эйлера лагранжиан, описывающий нелинейное взаимодействие низкоэнергетич. компонент электромагнитного поля, возникающее за счет суммирования по вакуумным флуктуациям электрон-позитронного поля в лагранжиане квантовой электродинамики. Характерной величиной напряженности поля в лагранжиане Гейзенберга - Эйлера является \[ F_{0}=m^{2} c^{3} / e \hbar \] где $e$ и $m-$ заряд и масса электрона $\left(e^{2} / \hbar c=\alpha \approx 1 / 137\right)$. В полях такой напряженности заряд $e$ на расстоянии комптоновской длины электрона, $r \sim \lambda_{C}=\hbar / m c$, приобретает энергию $\sim m c^{2}$. Лагранжиан Гейзенберга - Эйлера получен для медленно меняющихся полей с характерными частотами $\omega \ll m c^{2} / \hbar$, поэтому он является функцией только отношений $E / F_{0}$ и $H / F_{0}$ и не содержит производных от напряженностей электрического $(\boldsymbol{E})$ и магнитного $(\boldsymbol{H})$ полей. Общее выражение для лагранжиана Гейзенберга - Эйлера достаточно громоздко. В предельном случае слабых полей $\left(E \sim H \ll F_{0}\right)$ плотность лагранжиана Гейзенберга - Эйлера имеет вид: \[ \mathscr{Y}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{E}^{2}-\boldsymbol{H}^{2}\right)+\frac{\alpha}{90 \pi F_{0}^{2}}\left[\left(\boldsymbol{E}^{2}-\boldsymbol{H}^{2}\right)^{2}+7(\boldsymbol{E} \boldsymbol{H})^{2}\right]+\ldots \] Для сильных полей $\left(E \sim H \gg F_{0}\right)$ : \[ \mathscr{\varphi}=-\frac{1}{3} \alpha\left(\boldsymbol{E}^{2}-\boldsymbol{H}^{2}\right) \ln \frac{\left|\boldsymbol{E}^{2}-\boldsymbol{H}^{2}\right|}{F_{0}^{2}} . \] Лагранжиан Гейзенберга - Эйлера получен В. Гейзенбергом и Г. Эйлером [1]. Ю. Швингер [2] разработал эффективный общий метод вывода лагранжианов типа лагранжиана Гейзенберга - Эйлера с использованием так наз. формализма собственного времени. Набор полей, входящих в Э. л., может и не совпадать с полями в исходном фундаментальном лагранжиане, а описывать, напр., связанные состояния исходных полей в ограниченном интервале импульсов. Такая ситуация осуществляется, в частности, в киральном лагранжиане (см. Киральная симметрия), к-рый описывает низкоэнергетич. взаимодействие $\pi$-мезонов с нуклонами (см. [3]), а также в Э. л., являющимся феноменологич. реализацией нарушенной $U(1)$-симметрии мезонных взаимодействий в квантовой хромодинамике (см. [4]). Лит.: [1] Heisenberg W., Euler H., «Z. Phys.», 1936, Bd 98, S. 714; [2] Schwinger J., "Phys. Rev.», 1951, v. 82, p. 664; [3] Weinberg S., "Phys. Rev.", 1968, v. 166, p. 1568; [4] Arnowitt R., $\mathrm{N}$ath P., «Nucl. Phys.», 1982, v. B 209, p. $234 . \quad$ М. В. Терентьев.