ВЛАДИМИРОВА АЛГЕБРА

алгебра $H_{+}(C)$, состоящая из всех функций $f(z)$, аналитических в трубчатой области $T^{C}=\mathbb{R}^{n}+i C$ (где $C-$ открытый связный конус в $\mathbb{R}^{n}$ с вершиной в нуле), удовлетворяющих оценке \[ |f(z)| \leqslant M e^{a|y|}(1+|z|)^{p} \Delta_{C}^{-q}(y), \quad z=x+i y \in T^{C}, \] с некоторыми $M, a, p, q$, зависящими от $f$, где $\Delta_{C}(y)-$ расстояние от точки $y \in C$ до границы конуса $C$. Множество $H_{+}(C)$ есть алгебра с единицей относительно обычных поточечных операций. Эта алгебра становится топологической при наделении ее естественной топологией индуктивного предела \[ H_{+}(C)=\lim _{a, p, q \rightarrow \infty} H_{a, p, q}(C), \] где $H_{a, p, q}(C)$ - банаховы пространства всех функций $f(z)$, аналитических в $T^{C}$, с конечной нормой \[ |f|=\sup \left\{|f(z)| e^{-a|y|}(1+|z|)^{-p} \Delta_{C}^{q}(y) ; \quad z \in T^{C}\right\} . \] Важной подалгеброй В. а. $H_{+}(C)$ является алгебра с единицей \[ H(C)=\lim _{p, q \rightarrow \infty} \text { ind } H_{0, p, q}(C) . \] В. а. используются в аксиоматич. квантовой теории поля, в теории функций многих комплексных переменных, в теории уравнений с частными производными, в теории обобщенных функций и т.п. Основой приложений В. а. является тот факт, что преобразование Лапласа $L$ устанавливает топологич. изоморфизмы  где $C^{*}=\left\{\eta \in \mathbb{R}^{n} ; y \eta \geqslant 0\right.$ для всех $\left.y \in C\right\}-$ сопряженный конус, $\mathscr{l}_{C_{+}^{\prime}}^{*}-$ сверточная (см. Свертка) алгебра умеренных распределений с носителями, ограниченными со стороны конуса $C^{*}$, и $\mathscr{l}^{\prime} C^{*}-$ ее подалгебра, состоящая из умеренных распределений с носителями в конусе $C^{*}$. Отсюда, \[ H_{+}(C)=H_{+}(\operatorname{ch} C), H(C)=H(\operatorname{ch} C), \] где ch $C$ - выпуклая оболочка конуса $C$, равенства понимаются как естественные изоморфизмы соответствующих топологич. пространств. Всякая функция $f \in H_{+}(C)$ имеет граничное значение в классе умеренных распределений при $y \rightarrow 0$, то есть существует умеренное распределение bv $f \in \mathfrak{I}^{\prime}$ такое, что \[ (\operatorname{bv} f, \Phi)=\lim _{y \rightarrow 0, y \in C} \int f(x+i y) \Phi(x) d^{n} x, \quad \Phi \in \mathfrak{I} \] (см. Граничное значение обобщенное). Имеет место равенство \[ F[g]=\operatorname{bv} L[g], g \in \mathscr{I}^{C_{+}^{*}}, \] где $F[g]$ - преобразование Фурье $g$ (см. Фурье преобразование обобщенной функции).

алгебра $H_{+}(C)$, состоящая из всех функций $f(z)$, аналитических в трубчатой области $T^{C}=\mathbb{R}^{n}+i C$ (где $C-$ открытый связный конус в $\mathbb{R}^{n}$ с вершиной в нуле), удовлетворяющих оценке \[ |f(z)| \leqslant M e^{a|y|}(1+|z|)^{p} \Delta_{C}^{-q}(y), \quad z=x+i y \in T^{C}, \] с некоторыми $M, a, p, q$, зависящими от $f$, где $\Delta_{C}(y)-$ расстояние от точки $y \in C$ до границы конуса $C$. Множество $H_{+}(C)$ есть алгебра с единицей относительно обычных поточечных операций. Эта алгебра становится топологической при наделении ее естественной топологией индуктивного предела \[ H_{+}(C)=\lim _{a, p, q \rightarrow \infty} H_{a, p, q}(C), \] где $H_{a, p, q}(C)$ - банаховы пространства всех функций $f(z)$, аналитических в $T^{C}$, с конечной нормой \[ |f|=\sup \left\{|f(z)| e^{-a|y|}(1+|z|)^{-p} \Delta_{C}^{q}(y) ; \quad z \in T^{C}\right\} . \] Важной подалгеброй В. а. $H_{+}(C)$ является алгебра с единицей \[ H(C)=\lim _{p, q \rightarrow \infty} \text { ind } H_{0, p, q}(C) . \] В. а. используются в аксиоматич. квантовой теории поля, в теории функций многих комплексных переменных, в теории уравнений с частными производными, в теории обобщенных функций и т.п. Основой приложений В. а. является тот факт, что преобразование Лапласа $L$ устанавливает топологич. изоморфизмы  где $C^{*}=\left\{\eta \in \mathbb{R}^{n} ; y \eta \geqslant 0\right.$ для всех $\left.y \in C\right\}-$ сопряженный конус, $\mathscr{l}_{C_{+}^{\prime}}^{*}-$ сверточная (см. Свертка) алгебра умеренных распределений с носителями, ограниченными со стороны конуса $C^{*}$, и $\mathscr{l}^{\prime} C^{*}-$ ее подалгебра, состоящая из умеренных распределений с носителями в конусе $C^{*}$. Отсюда, \[ H_{+}(C)=H_{+}(\operatorname{ch} C), H(C)=H(\operatorname{ch} C), \] где ch $C$ - выпуклая оболочка конуса $C$, равенства понимаются как естественные изоморфизмы соответствующих топологич. пространств. Всякая функция $f \in H_{+}(C)$ имеет граничное значение в классе умеренных распределений при $y \rightarrow 0$, то есть существует умеренное распределение bv $f \in \mathfrak{I}^{\prime}$ такое, что \[ (\operatorname{bv} f, \Phi)=\lim _{y \rightarrow 0, y \in C} \int f(x+i y) \Phi(x) d^{n} x, \quad \Phi \in \mathfrak{I} \] (см. Граничное значение обобщенное). Имеет место равенство \[ F[g]=\operatorname{bv} L[g], g \in \mathscr{I}^{C_{+}^{*}}, \] где $F[g]$ - преобразование Фурье $g$ (см. Фурье преобразование обобщенной функции).