ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

функция, используемая для описания чистых состояний. Термин «В. ф.» иногда употребляется также как синоним термина «вектор состояния». Пусть $\psi$ - вектор состояния системы в гильбертовом пространстве $H$. Пусть $A=\left(A_{1}, \ldots, A_{N}\right)$ - полный набор попарно коммутирующих операторов и $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle-$ общая система (обобщенных) собственных векторов операторов $A_{1}, \ldots, A_{N}$, причем $A_{i}\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle=\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle a_{i}$. Тогда числовая функция \[ \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)=\left\langle a_{1}, \ldots, a_{N} \mid \psi\right\rangle \] называется волновой функцией в $A-\Pi$ редставлении. Функция $\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$ принадлежит гильбертову пространству $H_{A}=L^{2}\left(\mathbb{R}^{N}, d \rho\right)$, где $d \rho$ - мера Парсеваля, отвечающая набору собственных векторов $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$ (см. Вектор состояния). Отображение $\psi \rightarrow \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$ определяет унитарный оператор $U_{A}$ из $H$ в $H_{A}$. Поэтому если $\langle\psi \mid \psi\rangle=1$, то В. ф. ч удовлетворяет условию нормировки причем число \[ \int d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\left|\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\right|^{2}=1, \] \[ p\left(\Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N}\right)=\int_{\Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N}} d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\left|\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\right|^{2} \] определяет вероятность того, что измерение наблюдаемых $A_{1}, \ldots, A_{N}$ в состоянии $\psi$ даст результат $\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \in \Delta_{1} \times \ldots \times$ $\times \Delta_{N} \subset \mathbb{R}^{N}$. Зная В. ф. $\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$, можно вычислить среднее значение $\langle B\rangle_{\psi}$ любой наблюдаемой $B$ в состоянии $\psi$ : \[ \langle B\rangle_{\psi}=\int d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \psi^{*}\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\left(B_{A} \psi\right)\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right), \] где $B_{A}=U_{A} B U_{A}^{-1}$ - оператор наблюдаемой $B$ в $A$-представлении. В частности, \[ \left\langle A_{i}\right\rangle_{\boldsymbol{\psi}}=\int d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) a_{i}\left|\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\right|^{2} . \] Напр., в задаче об описании бесспиновой нерелятивистской частицы в качестве полного набора операторов можно взять компоненты оператора координаты $\hat{x}=\left(\hat{x}_{1}, \hat{x}_{2}, \hat{x}_{3}\right)$. В. ф. $\psi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ в $x$-представлении (или координатном представлении) принадлежит пространству $L^{2}\left(\mathbb{R}^{3}, d^{3} x\right)$. Функция $\left|\psi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\right|^{2}$ является плотностью вероятности обнаружения частицы в точке с координатами $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. Поэтому функцию $\psi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ часто называют амплитудой вероятности. Часто рассматриваются также ненормируемые В. ф. $\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$, не принадлежащие пространству $L^{2}\left(\mathbb{R}^{N}, d \rho\right)$. Соответствие между нормируемыми В. ф. и ненормируемыми В. ф. такое же, как между векторами состояния и обобщенными векторами состояния. В представлении Шредингера эволюция В. ф. во времени определяется Шредингера уравнением. В координатном представлении это уравнение похоже на уравнение, описывающее волновые процессы. Данное обстоятельство объясняет происхождение термина «В. ф.».

функция, используемая для описания чистых состояний. Термин «В. ф.» иногда употребляется также как синоним термина «вектор состояния». Пусть $\psi$ - вектор состояния системы в гильбертовом пространстве $H$. Пусть $A=\left(A_{1}, \ldots, A_{N}\right)$ - полный набор попарно коммутирующих операторов и $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle-$ общая система (обобщенных) собственных векторов операторов $A_{1}, \ldots, A_{N}$, причем $A_{i}\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle=\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle a_{i}$. Тогда числовая функция \[ \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)=\left\langle a_{1}, \ldots, a_{N} \mid \psi\right\rangle \] называется волновой функцией в $A-\Pi$ редставлении. Функция $\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$ принадлежит гильбертову пространству $H_{A}=L^{2}\left(\mathbb{R}^{N}, d \rho\right)$, где $d \rho$ - мера Парсеваля, отвечающая набору собственных векторов $\left|a_{1}, \ldots, a_{N}\right\rangle$ (см. Вектор состояния). Отображение $\psi \rightarrow \psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$ определяет унитарный оператор $U_{A}$ из $H$ в $H_{A}$. Поэтому если $\langle\psi \mid \psi\rangle=1$, то В. ф. ч удовлетворяет условию нормировки причем число \[ \int d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\left|\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\right|^{2}=1, \] \[ p\left(\Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N}\right)=\int_{\Delta_{1} \times \ldots \times \Delta_{N}} d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\left|\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\right|^{2} \] определяет вероятность того, что измерение наблюдаемых $A_{1}, \ldots, A_{N}$ в состоянии $\psi$ даст результат $\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \in \Delta_{1} \times \ldots \times$ $\times \Delta_{N} \subset \mathbb{R}^{N}$. Зная В. ф. $\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$, можно вычислить среднее значение $\langle B\rangle_{\psi}$ любой наблюдаемой $B$ в состоянии $\psi$ : \[ \langle B\rangle_{\psi}=\int d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) \psi^{*}\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\left(B_{A} \psi\right)\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right), \] где $B_{A}=U_{A} B U_{A}^{-1}$ - оператор наблюдаемой $B$ в $A$-представлении. В частности, \[ \left\langle A_{i}\right\rangle_{\boldsymbol{\psi}}=\int d \rho\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right) a_{i}\left|\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)\right|^{2} . \] Напр., в задаче об описании бесспиновой нерелятивистской частицы в качестве полного набора операторов можно взять компоненты оператора координаты $\hat{x}=\left(\hat{x}_{1}, \hat{x}_{2}, \hat{x}_{3}\right)$. В. ф. $\psi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ в $x$-представлении (или координатном представлении) принадлежит пространству $L^{2}\left(\mathbb{R}^{3}, d^{3} x\right)$. Функция $\left|\psi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\right|^{2}$ является плотностью вероятности обнаружения частицы в точке с координатами $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$. Поэтому функцию $\psi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ часто называют амплитудой вероятности. Часто рассматриваются также ненормируемые В. ф. $\psi\left(a_{1}, \ldots, a_{N}\right)$, не принадлежащие пространству $L^{2}\left(\mathbb{R}^{N}, d \rho\right)$. Соответствие между нормируемыми В. ф. и ненормируемыми В. ф. такое же, как между векторами состояния и обобщенными векторами состояния. В представлении Шредингера эволюция В. ф. во времени определяется Шредингера уравнением. В координатном представлении это уравнение похоже на уравнение, описывающее волновые процессы. Данное обстоятельство объясняет происхождение термина «В. ф.».